Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
Теорема (существования и единственности). Если функция f(x, у) непрерывна в области, содержащей точку Мо(#о, Уо)? то дифференциальное уравнение у' = f(x, у) имеет частное решение у = у (ж), такое, которое удовлетворяет условию у(хо) = уо. Если, кроме того, непрерывна и частная
производная в точке Mq(xq, уо), то решение единственно.
17.3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными 361
Таким образом, практически всякое изучаемое нами дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений, а соответствующая задача Коши имеет единственное решение.
17.3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение, в котором путем преобразований переменные могут быть разделены, называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Уравнение этого типа можно представить в виде
У' = f(x)g(y),
где в правой части равенства каждый из двух множителей является функцией одной переменной. Так, уравнение
у' = у/(х + 1)
является уравнением с разделяющимися переменными
f(x) = l/(x + l), g(y) = y,
а уравнение
х у' — 2у = х
— нет.
Решение уравнений с разделяющимися переменными состоит в следующем. Учитывая, что у' = перепишем уравнение
в виде
у' = f(x)g(x)
Из этого уравнения получим уравнение с разделенными переменными
dy
9 (У)
= f(x)dx.
Почленно интегрируя последнее равенство, имеем
dy
9 (У)
f(x)dx.
362
Гл. 17. Дифференциальные уравнения первого порядка
При делении на д(у) мы полагали, что д(у) ф 0, поэтому решения, при которых д(у) = 0, могут быть потеряны. Их наличие надо проверять отдельно.
V Пример. Найти решение дифференциального уравнения у' = у/(х + 1),
удовлетворяющего начальным данным у = 6 при х = 2, (у(2) =
= 6).
Решение. Имеем
dy_ dx
х + 1
Чтобы разделить переменные, выполним следующие операции: 1) умножим обе части на dx:
dy =
у dx
2) разделим обе части на у, у ф 0:
dy dx у ~ х + 1'
3) интегрируем:
dy_ У
dx х + 1'
или
In\у \ = In \х + 1| + In\С\ = In\С (х + 1)\
(когда при интегрировании возникает 1п|у|, константу интегрирования принято записывать в виде In |С|);
4) потенцируя, получаем решение
у = С(х + 1)
(у = 0 ((7 = 0) также является решением, в этом можно убедится непосредственной проверкой);
5) по начальным данным определяем произвольную постоянную
6 = С (2 + 1), С = 2. Окончательно имеем у = 2 (х + 1). А
17.4- Линейные дифференциальные уравнения
363
17.4. Линейные дифференциальные уравнения
Уравнение называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка, если оно имеет вид
y' + f(x)y = g(x), (17.5)
где f(x) и д(х) — некоторые (непрерывные) функции переменной х.
Название уравнения объясняется тем, что неизвестная функция и ее производная входят в указанное уравнение линейно.
В случае, когда функция д(х) тождественно равна нулю, уравнение называется однородным, в противном случае — неоднородным.
Линейное однородное уравнение
y' + f(x)y = 0 (17.6)
легко решается методом разделения переменных:
откуда
1п|у| =
f(x)dx + \n\d\.
Потенцируя, получаем общее решение уравнения линейного однородного уравнения:
y = Ce-Jf{x)dx, (17.7)
где С = ±СЪ
Общее решение неоднородного линейного уравнения находят с помощью универсального метода, именуемым методом вариации постоянной.
Метод вариации постоянной основывается на предварительном решении однородного уравнения (17.6). Общее решение неоднородного уравнения ищем в методе вариации постоянной в виде решения однородного уравнения (17.7), полагая постоянную С новой неизвестной функцией аргумента х:
y = C(x)e-Sf(x)dx. (17.8)
364
Гл. 17. Дифференциальные уравнения первого порядка
Подставим (17.8) в неоднородное уравнение (17.5) с тем, чтобы найти функцию С(х):
С'(х) e-Sf(x)dx - С(х) /(ж) e-Sf{x)dx+
+ f(x)C(x)e-I«x)dx=g(x),
откуда после приведения подобных получаем уравнение для С'{х):
C'{x)=g{x)e$f{x)dx. Интегрирование последнего уравнения дает выражение для С(х):
С{х) = L(x)eSf{x)dxdx + C2,
подстановка которого в (17.8) приводит к окончательному виду решения неоднородного уравнения (17.5):
у = е
f(x)dx
g(x)e$f{x)dx dx + Ci
(17.9)
где С2 — произвольная постоянная. V Пример 1. Решить уравнение
ху - 2у = 2х2.
Решение. Разделив левую и правую части уравнения на ж, приходим к линейному неоднородному уравнению:
у -2^ = 2х. (17.10)
х
Соответстующее однородное уравнение имеет вид
Разделяя переменные, получим
dy _ 2dx
у х
Проинтегрировав, найдем
In\у\ = 2 In \х\ + In С = In С ж2,
или
у = Сх\
17.4- Линейные дифференциальные уравнения
365
Полагая постоянную С новой неизвестной функцией аргумента х и подставляя решение однородного уравнения в (17.10), получаем
С'х2 = 2х2,
откуда
С{х) = 2х + Сг. Следовательно общее решение искомого уравнения имеет вид у = (2x + d)x2. А
V Пример 2. Найти частное решение уравнения
cos х dy + у sin х dx = dx,
удовлетворяющее условию у = 1 при х = 0.
Решение. Разделив все члены данного уравнения на cos х dx, получим уравнение
^L + ytgx = J-, (17.11)
ах cos х
