О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
[F(Z)-
Se___«1
2 г2
1
(S^argz < г. —о).
Доказательство
То, что функция (6) есть N-функция, очевидно. Докажем (7). Для этого мы должны, очевидно, показать, что
Iim
I 2 J—>0О
У- jbl-il
^zj dm (0 = 0 V (8 < arg« —
Замечая, что при о < arg z < я— 8 имеют место неравенства
Z
-A-U-L
Z — t sin«
Z—t
<
можем написать, что
и
і2п+1аШ(/) I /' it і2"+1 a» (t) , і
2 — t
<J
I г sin (
SlM 1
—я
-J t2ndw(t) +
—А
SlH I
-j'fdw (t),
57 откуда
оо —А оо
' — оо — оо В
В
—д
но правая часть стремится к нулю при A,B-^ со, и теорема доказана.
Замечание
Из теоремы 10 и доказательства теоремы 9 следует, что TV-функция F(z) допускает представление
— OO
где ш (J) — неубывающая ограниченная функция, тогда и только тогда, когда
ЇЇш I^F(Zy)I < оо.
у—foo
3. Дополним теоремы 9 и 10 следующим предложением: Теорема 11
Для того, чтобы функция Tr(Z) допускала представление
т=/4?+const
а
с неубывающей функцией ш(і), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
1) F(z) регулярна вне отрезка a<z<b,
2) F(z) — F(оо) вещественна при z = x<a и z = x>b,
3)F(z) — F(оо) TV-функция.
Доказательство
Необходимость условий проверяется непосредственно. При доказательстве достаточности мы можем принять, не ^нарушая общности, что
а =—1, 6=1.
По условию
T=-(Z)-T=-(CO) = -^- + ^- + ^+...,
58 где числа s0, S1, S2,... вещественны и
п
(8) Hm /j~sj < 1.
Я—VOO
Далее, согласно теореме 9 существует неубывающая функция tu (t), для которой
со
= + const,
— OO
OO
Si= f tkdv(t) (ft = О, 1, 2,...),
— OO
и мы должны доказать, что постоянна в открытых интервалах 1 (— оо, — 1), (1, оо).
Допуская противное, предположим, что имеет некото-
рую точку роста t0, лежащую вне интервала <—-1, 1 >; пусть, например, ^0= 1 + 2є, где е>0. Тогда
оо 14-Зе 1 + Ss
S2ft = ft™du(t)> J Л*о>(*)> (l+є)2* J <H*) = S(l+s)2ft
— со 1 M 1 + S
(ft = О, 1, 2,...),
где о > 0.
Следовательно,
_ 24
Iim У Sik > 1 + е,
A-Voo
что невозможно в силу (8).
ГЛАВА 3
!-проблема моментов и некоторые ее приложения
В настоящей главе мы займемся проблемой моментов (тригонометрической и степенной) при дополнительном требовании существования ограниченной производной у искомой неубывающей функции <o(t):
dv{t)=f(t)dt, (1) О <}{t)<L.
1 Это обстоятельство сразу следует из регулярности и вещественности
функции F(z)— F(Co) при z =* х < — 1 и z — х > Ь, согласно замечанию к теореме 8, которое было получено из формулы обращения. Последующие рассуждения не опираются на формулу обращения.
59 При решении указанной проблемы специфический характер неравенства (1) оказывается часто несущественным и мы будем рассматривать также условия более общего вида:
a</(*)<?,
где а, ? заданные числа, в частности, условие
— L<.f{t)<L.
Впервые подобные проблемы изучал акад. А. А. Марков [13b—d], Мы будем их называть L - проблемами моментов.
§ і
1. Начнем с тригонометрической L -проблемы. Теорема 1
Для того, чтобы существовала кусочн о-н е[п р е-рывная функция f(t), удовлетворяющая соотношениям1
— L<.f(t)<L. (0 < ? < 2т:),
(2)
27t
Ck = jf{t)jkidt (k = 0, 1, 2,..., n — 1), «
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство
(3) - 2nL < с0 < 2nL,
и Чтобы была ненегативна на окружности последовательность
Тої Ti? Ti» • • • > Tn-I' определяемая с помощью разложения
(4) exP { + + ^2 + •. - + Z"-1)} =
= T+Ti* + T2Z2 + . • • + Tn-i+ • • •.
To = Т + Т = 2 cos
Если эти условия выполняются, то существует удовлетворяющая соотношениям (2)v кусочно-постоянная функция fi(t) с периодом 2ir, принимающая всего два значения/., — L и имеющая в интервале длины 2и не более 2п точек разрыва.
1 Мы рассматриваем здесь только тригонометрические интегралы от 0 до 2л. Однако, с помощью нетривиальных рассуждений [\Ь] можно получить обобщение всех рассмотренных вами тригонометрических задач на тот случай,
когда интегралы берутся от 0 до т (0 < г < 2я).
60 Доказательство
1. Если удовлетворяющая соотношениям (2) функция f(t) существует, то функция
2г.
о
+ c^1z"-1+...)
в круге |z|<l регулярна, и ее вещественная часть
. + 6)+г* ^dt
о
в этом круге по абсолютному значению не превосходит it. Поэтому, полагая
F(z) = e^(2),
мы найдем, что при |z|<l:
UiF(z) -1 F(z) I cos { 9? Ф (z) }> О,
т. е. F(z) есть С-функция. А так как
= Y + + ... + ? z"-1+ ... ,
то в силу теоремы 4' главы 2 последовательность
Yo, Тії Її» • • • » Yn-1 (То-Ї + Т)
яенегативна на окружности.
Необходимость условия (3) очевидна.
2. Переходим к доказательству достаточности условий. Мы можем предположить, что
так как при ?'0=+2tZ, имеет место равенство їо = 0, а в силу ненегативности последовательности її,... , "(л-і это значит, что -ft, Y2, ... , 7„_з также равны нулю, что влечет равенства C1=C2= ... =Cn^1 = O, и мы получаем тривиальное решение J(t)~±L.
