О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
2it Jtt
= g(2n)-ik j g(t)eMdt - J f(t)eik'dt,
о 0
то f(t) удовлетворяет всем условиям теоремы. Замечание Если неравенство
— L < f{t) < L
заменить на
-L(I-S) </(*)<! (1+6),
(а к этому виду можно всегда привести неравенство я <f(t) < ?), то в формулировках теорем 1 и 2 неравенство (3) придется заменить на
(3") —2ttZ,(l — 6) < C0 <2*I (1+9),
а последовательность
Y-Y1, • • • , їл-i (То = Y+7)
последовательностью
S, S1, S4, . . . , (So=8+"8),
где
7СГ0 Itfl
Гf, 8fc = е (& = 1, 2,..., я—1)
66. 2. Рассмотрим частный случай /.-проблемы (2), когда
C0saO, ck=*2ibk (к=* 1, 2, 3, ...),
где числа Ьк вещественны.
Если f(t) есть решение /.-проблемы (2) для этого случая, то, заменяя интервал <0, 2тс > на <—я, «>, а функцию f(t)
на —/(— О)» которая, очевидно, также будет решением,
мы получим, что
TT
(8) bk~ f f(t) sinkt dt , {к= 1,2, 3, ... )
о
— L<f(t)<L.
Отсюда Теорема 3
Для того, чтобы существовала измеримая функция f{t\, удовлетворяющая с о о т н о ш е н и я м (8), необходимо и достаточно, чтобы была ненегативна на окружности последовательность
Ро> — 2, P1, Рг,
определяемая с помощью разложения
ехр + •••)}== І+Рі^ + Рзг2+...
і і
Теорему 3 можно дополнить следующим предложением
Теорема 4
!-проблема
TZ
(8') Ьк =J /(Qsinktdt (?=»1,2, ... ,И — 1)
о
— L I
имеет только одно решение тогда и только тогда, когда она допускает в качестве решения /,-функцию порядка р—\<п — 1. Этот случай характеризуется тем, что последовательность
(8") Po = 2, рь р2, . . . , P^1
имеет ранг р < п. Доказательство
Допустим, что последовательность (8") имеет ранг р <п.
67 Согласно теореме 16 главы 1 единственным образом определяется представление
т
(? = 0, 1, ... —1),
/=і
где р} > 0 и
0 < J1 < t% < ... < tm < я,
причем
•l+Sa+ • • • +Sm -р,
где Sj = 2, если 0 < tj < я и Sy = 1, если tj = 0 или t, = я. Отсюда мы получаем рациональную функцию
1 "L 1-,5-2
Ж»>- Tg// 1 -2zCostj. + Zi -1+М + Р.*+ ••• .
Замечая, что /?(е'4) есть нечетная функция от t, нули которой перемежаются с полюсами, мы найдем после простого подсчета, что в интервале 0 < t < и сумма числа нулей и полюсов этой функции всегда равна р—1. А так как эти нули и полюса будут точками разрыва в интервале 0 < t < тс функции
которая согласно теореме 1 есть решение L - проблемы (8'), то L - проблема (8') имеет решением некоторую L - функцию порядка р — 1.
На основании замечания к теореме 1 это есть единственное решение L - проблемы (8').
Обратно, если L - проблема (8').имеет только одно решение, то ранг последовательности (8er) должен быть меньше я, ибо в противном случае существует бесчисленное множество ненегативных удлиненных последовательностей
Po= 2, ?x, . . ?„-1, ?„,
каждой из которых отвечает свое решение проблемы (8').
3. С помощью последних двух теорем можно легко получить критерий разрешимости степенной /.-проблемы для конечного интервала, т. е. критерий разрешимости проблемы і
(9) Sk= f ukg (и) du, -L^g(U)KL (? = 0, 1,2,...).
—і
В самом деле, полагая
U = COSt, g(u) = —f(t), МЫ найдем в силу (9j, что
г.
(9') Sk = j" Cos^ sin t'f(t) dt, — L<&f{t)<L (? = 0,1,2,...),
O
68. а последние уравнения равносильны уравнениям
тс
(9") Ьк =— j sin kt-f(t) dt (k = 1,2,...),
о
«
так что проблема (9) сведена к проблеме (8), где последовательность легко может быть построена по последовательности {Sfc}.
Эту связь между последовательностями {sfc}, {Ьк\ удобно представить в виде следующего тождества
(10) .32. + ^ + -^+...-2+ + (*=??)-
Чтобы доказать тождество (10) заметим, что, с одной стороны, в силу (9)
1 с
_l3 _ Г s (и) du _ 9 Г г sin * f{f\ fit
~лГ X* JC3 J X-U ~ z J l-2zcost + z*JV)Ul'>
-1 O
а с другой стороны, в силу (9")
ж • OO It
/ T=SiSl+?-' W dt = Jsin kt-K)-dt--№2'+ b^ +
О A=I О
+ Ь,г»+...}.
Таким образом, в силу теорем 3, 4 проблема (9) имеет решение тогда и только тогда, когда ненегативна на окружности последовательность
Po-2, P1, ?„ ...,
где
(10') ехр (Ь, z + f>2z' + ...)} - 1 +P1 г +PiZ2+ ...
Чтобы окончательно сформулировать результат, положим
(10') /^=Tf і + і + і + =
и найдем непосредственную связь между последовательностями
(?} И (?}.
Имеем в силу (10"), (10') И (10)
-3-+3-+?+ • ¦• -TsM 1+Р> • • •) -
69. На основании теоремы 17 главы 1 и замечания к этой теореме вещественная последовательность 2, P1, р„ ... ненегативна на окружности тогда и только тогда, если последовательность о0, O1, о2, ... ненегативна в интервале < — 1, 1 >. Поэтому из теорем» 3, 4 настоящей главы следует
Теорема 5
Для того, чтобы существовала измеримая функция g(u) ( — 1 <и< Ij, удовлетворяющая условиям (9), необходимо и достаточно, чтобы была ненегативна в интервале < — 1, 1> последовательность
U1) 0O, 0J. о2, ...,
определяемая с помощью разложения
/.-проблема моментов +і
Sk=sJ uhg(u) du, —L Kg(u)<L (6*=0, 1,..., я —1)
