О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
Если последовательность
Yo > 0, т„ Y2, - ¦ • , їл-1
ненегативна на окружности, то согласно теоремам 9 и 12 главы 1 существует представление
їк = Рі<*і + Ра<*2+ • • • +?р*р (6 = 0, 1,2,..., п—1),
61 где P < п, Pi > 0, а,- = ей', причем можно принять, что tx<t2< ••• <tp<tt + 2тс. Построим функцию
j—1 у
Легко видеть, что
F(z) есть рациональная функция, числитель и знаменатель которой суть многочлены степени р. А так как
_ р
F1 (іt) = іF(e")^ і T-L-^pj ctgi+І,
/-і
то при достаточно малом s>0 (в силу положительности чисел Р1):
Fl( — tk-s)>0 (? = 1,2, ..., р).
Поэтому нули функции F_(z) лежат на окружности |z|=l и перемежаются с точками а,. Следовательно,
P __LX _LT
2 Vc 2 "fc
где можно принять, что
Т, < < T2 < • • • < v< Т» + 2lt-
А так как IF(O)I = IfI = 1, то ]А| = 1; поскольку же на окружности Iz|=1 функция F(z) имеет чисто мнимые значения,^to А = ± г; так как, с другой стороны,
5R^(0) = Yo>0
а
F(O)= ±іе
Yitk---к)
причем
62.
и
A=I то А = —і, и значит
F(Z)--і П " 7
2' tk 2 *к " 1 Є —Є Z
Рассмотрим функцию
I L (т і <t< tj)
^jX-L(UtJni) </-1.2,..../^.-T1 + *)
fL(t + 2n)=fL(t). Эту функцию можно также представить в виде
P сіп Sin
sin
fL(t)--Zsignn-^r7jc
fc=i "" 2
Непосредственное вычисление показывает, что
<5) 4L
о
где выбрана та ветвь логарифма, для которой
2тс р
1 *к~хк *
2 2 ' A = I
а значит в силу (3') равно -U-. А так как
AL
Пг) = г+... +Tn-i z"-1+ ...=е 4(-?-+? г+ • ¦ ¦ +cn-i г4-1+• • • ] . о в силу (5)
2г
О
откуда
** = / fL(t)emdt (? = 0, 1,2,...,«-!)..
Таким образом, кусочно-постоянная функция
р . 1 — Ч
Slll- *
Z1Jtl=-L sign П-T^H- = L si^n{-Tf^ },
к 1 Si"——
где
W --VH-TS ^-Sf-T + T' • ¦ • • • •
і=I '
удовлетворяет требованиям, и, значит, теорема полностью доказана.
Замечание
В дальнейшем мы будем часто иметь дело с функциями, определенными в том или ином интервале, которые подобно функции fb{t) принимают всего два значения L, — L (или два значения L( 1 —9), ?(1 + 0)) и имеют определенное число q точек разрыва; мы будем для краткости называть такие функции L - функциями (соответственно Lb - функциями) порядка q.
Заметим далее, что построенная при доказательстве теоремы 1 L - функция fL(t) есть единственное решение L - проблемы (2) тогда и только тогда, когда ранг р последовательности
То» Ti» • • • > 7Л_1
меньше, чем л.
Действительно, из приведенного доказательства и теоремы 9 главы 1 следует, что при р = п существует бесчисленное множество решений, являющихся /.-функциями порядка 2л.
С другой стороны, так как два различных1 решения /,-проблемы (2) позволяют двумя различными способами продолжить до бесконечной ненегативной последовательности конечную последовательность
То' Yi' • • • ' Yn-I'
то при р <п /,-проблема (2) не может иметь двух различных решений.
Впрочем, нетрудно доказать непосредственно, что если L -проблема (2) имеет решением /.-функцию порядка 2р < 2л, то это есть единственное решение проблемы (2). Действительно, пусть fb(t) имеет точки разрыва
(6) а, < а2 < .. . < а2р (0 < OL1, а2р < 2тг)
и пусть f(t) какое-нибудь решение проблемы (2). Тогда
2т.
(7) f [fu{t)-f{t)\ T{t) dt = 0
о
для любой тригонометрической суммы T(t) порядка < л — 1.
1 Мы не считаем различными функции, которые почтн всюду совпадают.
64. Беря
Zp (__а
Г^НГІsin (p<n)
k=i
и замечая, что fb{t)—fit) меняет знак в точках (6), т. е. там же, где и T(t), мы получим в силу (7), что
4 (О-/W=О
почти во всех точках непрерывности функции Zi (t) и, значит, fL (t) есть единственное решение проблемы (2).
Теорема 2
Для того, чтобы существовала измеримая функция f{t), удовлетворяющая соотношениям
-L<f(f)<L,
(2)
Ck = Jme?" dt (? = 0,1,2,...),
o
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство
— 2тiL <c0<2vL
и чтобы была ненегативна на окружности последовательность
7о> Ti» Уг» • • • > определяемая с помощью разложения
ехр {І (г 4- г + .. + . - •) } = 7 + T1*+ — +Tn-I г-1+ • • •
T0 = t+T = 2cos -?-.
Доказательство
Необходимость доказывается так же, как и с предыдущей теореме. Достаточность можно проверить с помощью простого предельного перехода.
Действительно, согласно теореме 1, при любом R существует функция /L (J; и), удовлетворяющая условиям
— L<fL(t\n)<L,
2it
с* = / fLit-,n)ewdt (?=0,1,...,/2-1).
о
Положим
г
gn(t)=JfLit-,n)dt (O^t 4*2*).
о
Ахиеаер и XtpeiiH-65—5 0 Последовательность IgnW) равномерно ограничена, так как
I4TnWI <2*1, и равностепенно непрерывна, так как
Поэтому по теореме ArzeIa существует подпоследовательность J4T14Wb равномерно сходящаяся к некоторой функции
g<t), очевидно удовлетворяющей неравенству
Из этого неравенства вытекает, что ,
t
git)- / fit) dt, о
где f(t) — некоторая измеримая функция, удовлетворяющая неравенству
— L < f(t) < L.
Так как
2ч 2ч
^ = JfL ге/)е'к'dt = gnj (2jc) — ik Jgnj(t)eik'dt = о 0
