О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
Следствие леммы 4 гласит: при s2m > Vim функция Xm(S2m) сохраняет постоянное значение Хт_ь
Докажем теперь, ЧТО при Uim < Sim < Vim функция Xm (S2m) строго убывает. Так как при Uim < s2m< S2m -^vva имеет место неравенство
ITl (sam) > 'т (Sim),
то нам надлежит доказать,- что невозможно равенство
(26) Xm (Sim) = Im (sin).
Допустим противное и обозначим через f*(u) ту функцию, которая минимизирует величину
(27) vraimax /(и)
— OO < и < OO
при условиях
(27') /(и) > О,
OO
(27") sft = /и"f (и) du (? = 0,1,...,2т—1)
— OO OO
Sim= f Uimf (U) du.
— OO
В силу (26) и теоремы 9 /*(«) есть также та единственная (с точностью до множества меры нуль) функция, которая минимизирует величину (27) при условиях (27'), (27") и
slm > J u2mf (и) du.
— OO
* 87 Но это значит, что последовательность
п
s0, s1,..., s^m—l, siт
несовершенна, что невозможно, так как
г
S^m 1U2m.
Таким образом, мы доказали следующее предложение: Теорема 10
Если последовательность |
S0, S1,..., S2m—і а
позитивна в интервале (—оо, сю) и Sim-^1 произвольное вещественное число, то существуют два числа •
uIm-tiVmisO' S1,..., S2m—i), rVwn = lVimisO, sI, ¦ ¦ •, sSm-1) 00 такие, что последовательность
S(I) S1, • • • , S2m
совершеннапри
и2т Sjm -?. 1V-Hn
и несовершенна при
sSm tVihi-
Нам остается указать правило для нахождения величины Vim. С этой целью припомним формулу (13')
J IJ \ sZm , 5O5Zm-I . sZrn , ,, ,
h т(Ч = — +-Jz--+ф (Z.; S0, s1,..., S-m-i).
Так как при S2m=V2m имеет место равенство
'пг = l^rn-I,
то для V2m получается выражение
(28) Vim = — ^m-V Ф (*m-i; S0, S1,. . ., S2m-1) —
— Хт_! Iim -1
Пример 1
Пусть
5O
88.
t„(L) ...tm(D Zm(I) ... о
Ьт-хЫ
— 1, Si - Ot s2 — 1. С помощью формул (13') мы находим, что
U(L) -4-. = ± UAL)~ JL + ^,
/,(1)-4- +
_J_ / //л = . sJLjl 1 , 1 24L1 ' 4 { > L + ' 2Z-3 + 120Z.6 '
Следовательно,
A1(Z) =
Поэтому в силу (28)
tO (L) ti (L) I _ h (L) U(L) I D
_1__
Al = 2 V 3 '
L2 V 12 Z.2 J'
— + lim і
1_
' 12 L-
таким образом, V4 конечно только при Ss = O и тогда равно . С другой стороны
U4 = 1 + Sg.
Пример 2
Покажем, что можно построить бесконечную последовательность
•^0» ^li * ' '
так, чтобы последовательность
• S0, S1, ..., S2m
была совершенна при т — 2k — 1 и несовершенна при т = 2k (& = Ь 2,3, ...) Последовательность
S0 = 1, S1 = 0, S2 = 1, совершенна, а последовательность
S0=I, S1 = O, S2=I, S3 = 0, S4 = 2
в силу предыдущего примера несовершенна. Допустим теперь, что последовательность
S0, S1, . . ., S4n
(Л > О
уже построена и удовлетворяет поставленным требованиям, так что сама она несовершенна.
Взявши произвольным образом числа S4nf lj Sin ¦ 2) удовлетворяющие неравенству
Sn ... Stin і
S2n+1 • - • S<n-b2
>0,
мы получим в силу леммы 3 совершенную последовательность
S0, S1,..., SinJr2
т. н найдем функцию f*(u)t удовлетворяющую соотношениям
OO
Sh=JukP(U)ClU (? = 0,1, ...,4Л+2).
— OO
8 я+1- '
Полагая
OO
s4n+3 = У'«4" 3/* (") du,
Stn и> f Uin^4P (и) du,
-OO
мы получим, очевидно, несовершенную последовательность
sO' sI, ... , S4п+4. Остается применить индукцию.
§ 4.
1. Вопросы, которыми мы занимались в предыдущем параграфе в связи со степенной L -проблемой для бесконечного интервала, воаникают также и в связи с другими изученными нами /.-проблемами (тригонометрической и степенной для конечного интервала) и даже допускают более простое решение благодаря ненадобности различать случаи, когда последовательность совершенна и когда она несовершенна. Рассмотрим, например, степенную L -проблему
і
(29') s* = /(и) du (к-0,1, ... , п),
—і
(29") — L(\— 8)</(и)</.(1+8) ( —1<9<1).
Не делая никаких предположений относительно вещественных чисел
(29 ) sq, s1) S2, . . . у sn,
если заданное число 9 удовлетворяет неравенству —1<9<1, и предполагая, что последовательность (29"') позитивна (соответственно негативна) в интервале <—1, 1 >, если 8 = 1 (соответственно 9 = —1), докажем в первую очередь, что проблема (29'), (29") при достаточно большом L> О всегда разрешима. Примем ^начале, что — 1 < 9 < 1. Полагая
JL
і /х — IX" 3O . 0I , , с/«-и , . . 1V
90. и замечая, что левая часть этого равенству есть
і в і 1 гсб /• 1 /1 — ц\Т dM _ r da>(u)_
"it C0S 2 J YiZZй» V+ «J X-U-J X-U '
где
U о
, ч і яв /' і Л — «А і (и) = — cos -,т- / , Ir--T- -) ак, V ' 2 J Ух-. иг\\ +Uj
Vi
так что «)(и) — возрастающая функция, мы заключаем, что последовательность
°o> 0P •. • •. s« -і
в интервале < — 1, 1> позитивна.
Поэтому при достаточно больших L > О будет позитивна в интервале < — 1, 1 > последовательность
O0(L), S1(L), .. .,Onfl(L),
определяемая разложением
on T^=T (гЗГ«р{ 2b+ •+M-
= -?- + -?^+--- K=D.
а значит, на основании замечания к теореме 5 проблема (29'), (29") будет разрешима для достаточно больших L > О.
Примем теперь, что |8| = 1; пусть для определенности 8 = 1. Нам дано, что последовательность (29"') позитивна в интервале < — 1, 1 >; поэтому существует представление
