О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема Ia — 2а.
Для того, чтобы существовала неубывающая «функция о (и), удовлетворяющая уравнениям
необходимо и достаточно, чтобы последовательность { Sj | б ыла ненегативна винтервале < — 1, 1>.
Функция а (и) имеет точно р точек роста тогда и только тогда, когда ненегативная последовательность { s* } имеет ранг р.
1 Легко видеть, что теорема Ia—2а может быть также получена непосредственно с помощью канонических представлений венегативной в интервале
— 1,1> последовательности, если воспользоваться рассуждениями, подобными проведенным в предыдущем абзаце при доказательстве теорем 1 — 2.
р
с —с . _1_ V e"Jz
2 2 J^i \ — eijz
/= і
Py ~ с + с J Z + ... +cn-xz"1 +zn^(Z).
—1
48 3. Если ненегативная на окружности конечная или бесконечная последовательность { cft S (или ненегативная в интервале <—1, 1> последовательность { Sft }) не является позитивной, то функция з (J) теоремы 1 (или функция о (и) теоремы 1а —2а) определяется в существенном однозначно.
С другой стороны, если рассматриваемая последовательность позитивна и конечна, то решение проблемы моментов, очевидно, не однозначно.
Возникает вопрос об однозначности, если последовательность позитивна и бесконечна. Ответ на этот вопрос положителен и вытекает из следующего общего предложения.
Теорема 6
Функция ограниченной вариации a (t) (0 <; J ^ 2гс) (соответственно а (и), — I < и < I) в существенном однозначно определяется моментами
Эк
Ck =Jeikt da (t) (?=0,1,2, ...)
о
(соответственно моментами
і
Sft = Juda(и) (?=0,1,2, ...).
—і
Доказательство
Достаточно доказать теорему для случая т ригонометриче ских моментов.
Разлагая функцию a (t) в ряд Fourier, который по теореме Jordan'a1 сходится всюду к
.(,- 0) + .(«+0) (о(_0) = 3 (2п)> о(21с+0)=о (0)),
получим
OO
3(f-0) + o(f + 0) at , ХЛ . . , , , . ...
----= ~Т У. ^ak cos^ + fa Sin kt)
k=l
Поэтому в силу второй теоремы АЬеІ'я
оо
= ^l+ Hm V г* (ак cos kt + bk sin kt) = ft=l
= lim -L f (l-"-2M«)d8_
^iil0 2я у і _2/-co§(^—в) + /"2 о
1 См., например, Vallde • Poussin, Курс анализа, том II, стр. 135.
Ахиезер и Крейн—65—4
49 Введем в рассмотрение функцию
in
f (Z) = -f- + C1 г + Cf + ... - 4-J d, (6) (IZI < 1).
о
Для нее
* 2 тс I
о OO
Sit
- const -I- 1 /_(L=Jl2)HOrfi
- const+ ^-у
о
Сопоставление с ранее найденной формулой дает
^-0) + ,(. + 0) _ const+ Иш ±fm{f{re-*}] ^
г-> 1—0 п J о
Из этой формулы обращения и вытекает наше утверждение. Замечание
Установленные нами соотношения позволяют утверждать, что на некоторой открытой дуге а < t < ? функция ограниченной вариации a(t) тогда и только тогда сохраняет постоянное значение, когда соответствующая функция
271
о
на этой дуге регулярна и имеет чисто мнимые значения. Необходимость следует из приведенного интегрального представления, а достаточность вытекает из формулы обращения.
• §2
1. В этом параграфе мы приведем некоторые результаты, относящиеся к степенной проблеме моментов на бесконечном интервале. Эта проблема для случая интервала (0, со) была впервые поставлена и весьма подробно изучена Т. Stieltjes'oM [39а]; случай интервала (—со, оо), был исследован сравнительно недавно в работах Hamburger'a [29], M. Riesz'a [37], Т. Carleman'a [29] и R. Nevanlinna [34а].
Центральным вопросом в исследованиях перечисленных авторов является вопрос о том, когда проблема моментов является определенной, т. е. .имеет в существенном одно решение. Не имея здесь возможности входить в рассмотрение этого вопроса, который находится в стороне от наших исследований, мы ограничимся в этом параграфе изложением простейших теорем, аналогичных теоремам § 1.
50 При этом, чтобы не усложнять рассуждений рассмотрением случаев вырождения, которые фактически изучены в главе 1, мы будем требовать чтобы о (ц) имела бесчисленное множество точек роста.
Теорема 7
Для того, чтобы существовала неубывающая функция а (и) с бесчисленным множеством точек роста, удовлетворяющая уравнениям
OO
Sk = J и di (и) (А = 0, ], 2,...)
— OO
необходимой достаточно, чтобы последовательность {5?} (конечная или бесконечная) была позитивна в интервале ( — оо, со).
Доказательство аналогично доказательству теоремы 2. Остановимся только на предельном переходе. Применяя теорему 3 главы 1, мы найдем для каждого я некоторую неубывающую функцию зп(и) с я точками роста, для которой
оо
Sk = Judan(U) (k=0, 1, ..., 2я—2; л= 1,2, 3,. . .; ап(— со)=0),
— со
так что
0<3„(w)<s0 (п = 1,2,...).
Согласно теореме Helly существует неубывающая функция з (и) и последовательность {Я;}, для которых
Iim оп. (л) = о (и)
І-> OO 1
во всех точках непрерывности функции о(и). Остается доказать, что для любого k\
OO
Sk = J U dz (и).
—OO
Пусть 2г—2>&, так что при л,-> г:
OO оо
Sk = J U dzn(u), s2r- 2 = f Ur *jan.\u).
— OO 1 — OO
Пусть далее — А, В (А> 0, ?>0) суть точки непрерывности функции о (и).
51 Тогда
3 —Л W
