О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
Sk — f и fan. (и) < J I и I don. (И) + / И d<J„. (иХ —л '
—д
< Jjpks=k{ f Ur-2Cion. (U)+ f Uir-2Cioni(U) }
М2г-г~к »
где .M = min {А, В}.
Отсюда; применяя вторую теорему HelIy, получим, что
в
<
'2/--2
Afsr
-S -к'
Sk —JUk da (и)
—А
а затем, увеличивая до бесконечности А и В, найдем:
OO
Sk = Juk da (и).
— OO
2. Условимся функцию F(Z) называть функцией Nevanlinna или коротко M- функцией, если она регулярна в полуплоскости $г>Ои имеет в ней отрицательную мнимую часть.
Теорема 8
Всякая yV-функция F(z) допускает представление
F(z) = a-v.z + j^da(t),
где a(t) есть неубывающая функция, а О и а — две вещественные константы
Доказательство
Полагая
г=іг=Т' /(о=;/=»,
мы найдем, что / (С) есть С-функция.
Поэтому согласно теореме 5 существует такая неубывающая функция <р(т), что
2л
/(О-ІЗ/(0)+f^{d>t(x) (К|<1)
или
52
2л—О
Я0-«3/(0)+^1?+ f ^гг^(т),
+0 где
JX= { ? ( + 0)-4.(0) j+{ <p(2«)-<p(2it-0)} >0.
Возвращаясь от С к 2, получаем:
2it-o
/1 — ZCtg 4--^diP(T)f
г + ctS
4- о л
после чего остается положить и сделать замену
Ctg -J- = — t, d<f(x)=da(t).
Замечание 1
Нетрудно видеть, что фигурирующая в формулировке теоремы 8 функция a(t) определяется по заданной N-функции F(z) в существенном однозначно г.
Это следует из того, что в силу теоремы 6 функция <р(т), а
значит и а (t) (ctg-J- = —і} в существенном однозначно определяется через функцию
Заметим также, что в силу замечания к теореме 6 функция з (t) теоремы 8 тогда и только тогда сохраняет постоянное значение в открытом интервале <*<?<(}, когда F(z) в этом интервале регулярна и вещественна.
1 Можно также показать непосредственно, что имеет место следующая формула обращения
4,(g + 0) + ^(?_0) _ ф(а + 0) + ф(а-0) =
2 2 ?+»)
-I1 -> о J а+щ
где
t
"КО- j"(l + B1Jdo(B).
с
В несколько более частном случае эта формула обращения была впервые указана Stieltjes'oM [39а].
ч
53 Замечание 2
Пользуясь теоремой 8, нетрудно доказать, что для всякой
ЛЛфункции F(z) при сколь угодно малом, но зафиксированном 8 > 0 существует
Iim fllI (5 < arg z < гс — 8)
I г I-^-OQ z
и есть число — ts входящее в интегральное представление. Теорема 9
ЕслиД^-функция F(Z) удовлетворяет уравнению
(1) Iim (іу)2Л+1 \F{iy) — —— . . .---fer-U О,
w y_y + ooV ' \ ty (У)2 (00 I
где числа S1, S8, S5,..., ssn-i вещественны, то F(z) допускает представление
OO
F(z) =
— OO
где <¦>(*) — неубывающая функция, удовлетворяющая уравнениям
Sk = J thdm(t) (? = 0,1,...,2п),
— OO
так что все числа Sft вещественн ы и последовательность s0, S1,..., Sin. ненегативна в интервале (—оо, со).
Доказательство
На основании теоремы 8 F(z) допускает представление
OO
F(Z) =OL-V-Z+ J Lt^ do(t) (р > 0)
— OO
и значит
OO
(2) ^{iyF^y)} = ^+ Jy-^P do(t),
— OO
OO
(3) S { IyF(Iy)) = ay-/???- da(t).
- OO
В силу (1):
(4) lim iyF(iy) = s0-,
54 поэтому оба выражения (2), (3) имеют пределы при у—>оо и значит
Ji = O1 a S=Illm /
у—MX) J
у—MM
- OO
m —у)
і2 + .у2
Последнее равенство показывает, что при любых Л > О, В> 0:
в в
+ П) da (t)
I
(1 + t*) da (t) = lim
у
—А
Поэтому интеграл
Im f'L+
—А
+
у
J (1 +
— OO
существует, а значит существует и интеграл
J\t\da{t).
— OO
Следовательно,
OO OO
a = Iimdo(t)~ - f tda{t),
и полагая
мы найдем, что
»(J) = J (1 +J^a(J),
Отсюда iyF(iy
В оо —А
у)- <Jd»(t)+j<
~ А в —
Um (О г— t •
dv>(t)-\- / d(o(t) = eAie
и в силу (4):
s0—J d<s>(t)
K5AtB,
55 следовательно,
OO
S0 = f du>(t).
— OQ
Допустим теперь, что равенства
OO
Sk = J tk du> (t)
— OO
доказаны при k — 0, 1, 2,..., 2т, где т^п—1, и докажем, что они справедливы также при k=»2m+l, 2т + 2. ^
Так как при т. = О эти равенства справедливы, то тем самым доказательство теоремы будет закончено. В силу нашего предположения:
Sm
F(Z)=V
1 Г tim+1 du> (t)
f г*+1 т к=0
z—t
Поэтому на основании (1):
у—У+со
Л1+1 dm (0 вгт+\ sim+2
iy-t іУ (iyf
или
(5)
«У
t2m ^dmjt)
iy — t
ъ2т+1
8 (У)
1У
W
где lim 8 (у) = 0.
_у->+CO
Отделим в полученном равенстве вещественную часть, помня, что Sun+l вещественно. Мы получим, что
I
<2Я1+г d W (<)
t* +у*
°2т+S
Чу)
У2
где Iim O1(JZ) = О и S^mii = 9?s2m+2.
Из этого равенства мы получаем аналогичным примененному выше рассуждением, что интеграл
/
:2/71 + 2
dm (t)
существует. Поэтому существует интеграл
OO
J lt\2m+1d«>(t) и в силу (5):
S2m+1 = J tm + 1do>(t),
— OQ
оо
= / tWd*{t).
Теорема 10
Если есть неубывающая функция, для ко-
торой
Jtkd*>(t) = Sk (k = 0, 1,..2л),
T о
(6)
Fiz) = J
da>'(t) z—t
есть iV-функция, удовлетворяющая при сколь угодно малом, но фиксированном 8>0 уравнению
(7)
Hm г2"+1
1 г оо
