Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ахиезер Н. -> "О некоторых вопросах теории моментов"

О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.

О некоторых вопросах теории моментов

Автор: Ахиезер Н.
Другие авторы: Крейн М.
Издательство: Х.: АНТВУ
Год издания: 1938
Страницы: 257
Читать: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
Скачать: onekotorihvoprosahteoriimomentov1938.djvu

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ХГУ

Н. АХИЕЗЕР и М. КРЕЙН

О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ ТЕОРИИ МОМЕНТОВ

ГОНТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ НКТП

НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО УКРАИНЫ



Харьков 1938 Библиографическое описание этого издания помешено в »Летописи Укр. печати" ,Карточном реперт," и других указателях Укр. Кннжн. Палаты.

5 — 4

Ответств. редактор С. Г. Шовло Технический редактор Ф. И, Бергер Литредактор В. Зисельман Корректора Е. В. Архангельская

и Н. П. Трохименко

Сдано в производство 25/Ш 1938 года. Подписано к печати 7/IX 1938 г-Формат 62x90 Vle-SТираж 3000. Уч.-авт. л. 19,2. Печ. л. 16. Уполном. Главлита № 536. Учетный;№ 4698. Технико-теоретическая редакция № 72. Колич. печ. знаков в печ. л. 34560.

Киевская типография ОБОРОНГИЗА. Крещатик, № 42. Зак. № 65. ОТ АВТОРОВ

Предметом настоящей книги являются некоторые специальные вопросы, относящиеся к так называемой проблеме моментов, которые по тем или иным причинам попали в поле интересов авторов.

Книга разбита на отдельные статьи, которые в основном читаются независимо одна от другой; однако, не следует думать, что эти статьи не связаны между собой, наоборот, между ними есть тесная связь и статьи расположены в известной логической последовательности.

Основная статья (L — проблема моментов) своим отправным пунктом имеет некоторые (мало известные) идеи и проблемы, выдвинутые покойным академиком А. А. Марковым [13 b,c,d] '. В ряде работ авторы [1 а — г] завершили и обобщили результаты А. А. Маркова, связавн и их с современными теориями, которые А. А. Маркову, повидимому, были неизвестны.

Следующие три статьи трактуют в свете функционального анализа некоторые из вопросов, решенных или затронутых в первой статье.

Дальнейшие две статьи посвящены различным применениям одного класса функций (названных авторами N-функциями), играющего большую роль в проблеме моментов.

Как это обычно бывает, авторы предполагают написать, по крайней мере, еще одну книгу, куда попадут все важные вопросы теории, не нашедшие себе места в этой книге.

Поэтому они надеются, что их никто не будет упрекать в том, что вопросы определенности проблемы моментов в этой книге остались неосвещенными.

* Числа в квадратных скобках относятся к указателю литературы, помещенному в конце книги. СТАТЬЯ 1

Н. АХИЕЗЕР u М. КРЕЙH

L — ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ

ГЛАВА 1 Функционалы <3 и S

Пусть задана последовательность вещественных чисел

(S) Sq, sj, S2,- • •, s11',

определим в пространстве полиномов (вообще говоря, комплексных)

Gn(M) = A0 +A1U+...+AnUn

степени не выше п-ой функционал S, полагая

<3{Gn} = A0S0 + A1S1+ ... +A„sn.

Условимся называть последовательность (s) позитивной (соответственно ненегативной) в некотором интервале J ОСИ—OO <«<00, если из соотношений

Gn(U) фО, Gn(U) > О (u CJ)

всегда следует неравенство (S{Gn}>0 (соответственно S{Gn}>0).

Подобным образом, если задана последовательность комплексных чисел

(с) cq о, c1, . . ., cn,

определим в пространстве квазиполиномов

Tn(Z) = -^iAkZ* (z = eH)

ft=—п

„степени" не выше п-ой функционал Є, полагая

&{Tn}=j±Akck,

к=-п

где

C_k= Ck (k — 1, 2,..., п)

(черта означает переход к комплексно сопряженной величине). 4 Очевидно, что если Тп(еи) есть вещественный тригонометрический полином (A_fe = Afe, k — О, 1,..., п), то и значение функционала (?{/¦„} есть число вещественное.

Условимся называть последовательность (с) позитивной (соответственно ненегативной) на некоторой дуге В окружности если из соотношений

Tn(Z) фО, TAeit )> 0 (tQ. В)

всегда следует неравенство

<? { Tn} > 0 (соответственно Є { Tn} > 0).

Легко построить примеры позитивных и негативных последовательностей.

1. Возьмем какие-нибудь числа

Pi > о, ?2 > 0,..., Pm > О

и положим

<*> - PiSj +M*+-• • + (ft-0, 1,2,...).

Если

Gn (и) = ^o+ A1U + ... 4- AnIiri,

то

S { Gn ) = P1 Gn (S1) -f- P2 Gii (Sj)H----+ Pm Gn (im)-

Поэтому при а < S1, і > Zm последовательность

Sq, Slt. . . , Sn

позитивна в интервале < а, 6>, если и иенегативиа, если n>2m — 1.

Та же последовательность в интервале < ?,, Sm > будет позитивна только при л <; 2т—3, оставаясь ненегативной при п>2т — 3.

2. Возьмем в интервале (а, Ь) вещественную интегрируемую функцию

ь

P (х) > 0, для которой Jр (х) dx > 0, и

положим

Sk= I XkP (X) dx (? = 0,1,2 ....,л)

(предполагая в случае бесконечности интервала (я, 6), что все введенные интегралы имеют смысл). Так как

то последовательность

{ Gn } =Jgii (X)P (X) dx.

^i.....^n

позитивна в интервале (а, Ь).

Подобным образом можно построить позитивные и негативные последовательности (с) на дуге окружности. Пользуясь интегралом Stieltjes'a, можно объединить оба приведенных примера в один, полагая

ь

(**) Sk= j'xkd з (X) (ft = 0, 1, 2,...),

а

где а (jc) — некоторая ограниченная неубывающая фуикцня.

В дальнейшем мы увидим, что всякая конечная ненегативная в интервале (a, b){—оо< а < b < оо) последовательность (s) допускает представление (**). Особенно простое и изящное доказательство этого факта дал М. Riesz [37].
< 1 > 2 3 4 5 6 7 .. 69 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed