О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
Умножая обе части этого равенства на
— ^ і (ФиА-s и*-+- 1
е »t1 *"=\ + tf)(-2L)u-\-tl(—2L)u*+...=Au+A1u+...
и
— -zr (S0Vi S.a'i-...)
е 21 =1+4(- 2L)v + ti(- 2L) Щ»+... = A0+ А,«+.,
•получим
" : U I S0U + S1U2 + ... SeV + S1Wa + . . . \
1 V „ч і * , S hyP 2L----ІГ—
2 IdCitk(L)U1V" + ... =-----=
I, A= О
r
= І X (^)OV + A1B^1 + ... + Ап-іИ")(A0f* +
і, s=o
+ А1и*+1+...+Ал_*ил)+...
Следовательно,
я л
c1-, ft (L) UiVk = ^ ?/+* (L) s4tjjb,
A=O і, k- Q
где
S0 = ^oK0+ A1U1 +----H А„м„
^i= A0Ii1+...+Дя-іи,,
Sn=
78. щ = A0V0+A1V1+ ... +AnVn %= A0V1+ ...+An-IV1
*)п == А<Рп
Так как определитель этого преобразования есть 1 (d =¦-= An0= 1), то
со, o(L)co, і (L).. • Со, П (L)
K(L) = СІ, о (L) Сі, і (L).. Cun(L)
Cnl0(L)Cnil(L).. • Сп, п (L)
и наше утверждение вытекает из того, что Cik (L) есть нечетна», функция от L.
Нам приходилось не раз иметь дело с парой полиномов <рР (-*),. степени р, удовлетворяющей соотношению
(18)
где
_ , .JsWL
\ (X) "** X
tjp-iW
^p
+
bk (L)> О Покажем, что (18')
фр<*>
где
18")
TpW
(к = 0, 1,..., р- 1; L> 0).
&р(х; —L) ~ Ьр(хГ1)~'
Sk (х; L) =
to (L) U{L). .Jk(L)
h(L) tz (L). ¦ ¦ fc+i (L)
tk-i (L) h (L).
1 X ... Xk
Из разложения (18) следует, что уР(х) есть ортогональный полином степени р относительно последовательности t0(L),.,., Up-, (L)\ а так как старший коэфициент <?р (X) есть 1, то
Замечая, что
VP (*) = -^ZTW Лр(Л; L)'
*tp-x(-L>
r'LP
мм получим в силу тех же соображений, что
1
фр W = и—TZTf M*; — L)> и остается принять во внимание равенство V-X(-L) = (- iybp-i{L).
Лемма 2
Если форма
(19)
YlSnkXtXk
положительна, то существует такое положитель| ное число Xm, что форма
(2.0)
Y1 ti+k(L) XlXk
положительна при L~>\m и не является неотрица| т ел ь н о й; п р и 0 < L <1т.
Это число Xni есть наибольший "корень урав| нения
21) Am(L) = O
и, являясь функцией ОТ S0, S1,.. ., S2m, удовлетворяв' неравенству
<22) X т—1 {So, sI,' • •> Sim—г) С ^m (sOl Si,..., S2m),
так что, в частности,
sO
^m (s(i> stm) > ^ r == = x1 (s0, s1, s2).
2/ 3 ^s0S2-Sl
Доказательство
Так как в силу (13')
т от
Iim Yi Lti, * (L) XiXk = s14 kxtxk,
І-Хю о 0
то форма (20) положительна при достаточно больших L > 0| если же
„2
L <
2 / 3 /s0s2 — si ' то форма (20) "не является неотрицательной, так как
A1(L) =
to (L) к (L) = 1 J S0Si I 4
к (L) к (L) S1S71 I 12 L*
С другой стороны, если форма (20) положительна при L = = }.'>0, то она будет положительной также при L = к" > /.',1 так как из положительности формы (20) при L = X'> 0 следуеті согласно теоремы б существование функции /(«), удовлетво-]
80. ряющей соотношениям
со
О </(и) <'/.', Sk = J Ukf (и)du (? = 0,1,...,2т),
— OO
а значит, и подавно удовлетворяющей соотношениям
OO
О < f{u) < X", Sft = Juk f (и) du (? = 0,1,...,2 т).
' — во
Так как значения L, для которых форма (20) является неотрицательной сингулярной, обращают в нуль функцию
Am (L)
и, значит, изолированы, то нижняя грань тех значений L, для которых форма (20) положительна, есть указанное число Im и оно есть наибольший корень уравнения (21).
Неравенство (22) есть очевидное следствие теоремы 6. Теорема 8 Если форма
т
(19) S^hXiXh
о
положительна, и S2m +1 произвольное вещественное число, то существуют неотрицательные функции /(и), удовлетворяющие условиям
со
(23) Sft = Jukf(u)du (? = 0, 1, 2,.. . 2m + l),
— OO
II для этих функций f(u)
Inf {vrai тах/(и)} =Xm,
—°о< и <оо
где Xm — число определенное в лемме 2.
Доказательство непосредственно вытекает из леммы 2. Приведенная теорема не утверждает, что существует удовлетворяющая условиям (23) неотрицательная функция f(u), для которой vrai тах/(и) = Xm; и далее мы покажем, что такая функция
¦— оо< и со
может не существовать. Однако, имеет место Теорема 9
Для того, чтобы существовала неотрицательная функция f(и), удовлетворяющая условиям
со
(24') Sft= J uh f (и) du (? = 0, 1,..2т- 1, S0 > 0)
— со
oo
(24") ' . S2m > fa**f(u) du,
— оо
t
-\М(езер и Крейн-. Gi-B H необходимо и достаточно, чтобы была положительна форма
от
(19) ^lSilkXiXk.
о
Для неотрицательных функций /(и), удовлетворяющих условиям (24'), (24"), имеет место неравенство
vraimax/(«) > Xm,
-oo < u < со
причем знак равенства достигается тогда итол^ко тогда, когда/(и) почти всюду равна функции
где р есть порядок последнего отличного от нуля о п р ед ел и т ел я в р я д у
MU MU,---- ^-,(U
кроме того, если р=т, то ф у н к ц и я/>т (к) удовлетворяет также равенству
OO
(24'") s2m = fu*mf;m(u)du.
- OO
Доказательство
Необходимость условия в доказательстве не нуждается. Докажем достаточность. Пусть форма (19) положительна. Так как форма
т
т) XiXk
о
неотрицательна и сингулярна, то однозначно определяется представление
4(U = SP«^ (? = 0, 1,...,2/п—1), 1=1
