О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
(14') Sfc = J* цкfL (и) du (? = 0, 1,..., 2т — 1),
—OO
где
Я)-4-{1-Sign-^j,
причем в случае р^т имеет место также равенство
OO
(И') S2m= / uimfL (и) du.
—00
Так как по условию
О <f(u)<L,
то
sign {/; (И) —/(и) } ¦ sign {<?р (и) фр (и)} <0.
74. С другой стороны, как при р<т, так и при рж.т, в силу (14') и (14")
oo
/{ fL {«)-/(«)} Ь (в)'фр («)¦da - о, —00
откуда вытекает, что почти всюду /(и) = /* (и), что невозможно в силу (12), так как(и) равняется L на целых интервалах.
2. Припоминая последнее утверждение теоремы 3 главы 1, нетрудно видеть, что каково бы ни было вещественное число ¦Ssrn+i при позитивности в интервале (— оо, со) последовательности t0, существует функция /(и), удовлетворяющая условиям (12) и условию
OO
(12') S2m43= J uim+lf (и) du.
—OO
Кроме того, доказательство теоремы 6 показывает, что ненегативность в интервале (—со, со) бесконечной последовательности
(15) Ik(L)t ti(L), t2(L),...
есть необходимое условие для^ существования функции /(и), удовлетворяющей неравенству
(16') О </(«)<?
и соотношениям
OO
(16") Sk= J ukf(u)du
—OO
для всех целых k^-0.
Покажем, что справедливо и обратное предложение. Если бесконечная последовательность (15) ненегативна в интервале (— оо, со), но не является позитивной, причем р есть порядок последнего отличного от нуля определителя в ряду
ta(L)U(L) к (L)U(L)
tuk(L)=\ti+i(L)\l.
^o(L)— t0(L), A1 (?) = то каноническое представление
U (L) piS? (A-0, 1, 2,..., 2р—\)
i=i
справедливо также при k = 2р, 2р-\-\,..., и поэтому конец доказательства теоремы 6 показывает, что в этом случае удовлетворяющая неравенству (16') и условиям (16") для k = 0, 1,2,... функция /(и) существует и почти всюду равна функции
Mi oIrTn 1M")
Л «..f. {і-^feg),
принимающей всего два значения О, L и имеющей 2р точек разрыва.
75. Допустим теперь, что бесконечная последовательность (15) позитивна в интервале (— оо, оо).
Согласно теореме 6 для любого натурального я существует функция /(и; я), удовлетворяющая условиям
OO
Sft= J и*/(и; rt) du, О </(и; я) < L (6 = 0, 1,..., 2 я).
—OO
Полагая
а
//(и; я)</и = Ф(и; я) (я-1, 2,...)»
-OO
так что Ф (и; я) есть неубывающая функция, удовлетворяющая неравенствам
со
О<Ф(и; я)< Г/(и; я)du = s0, (и" > и')
(17) do
О< Ф(и"; /г) — Ф(и'; n)<L(u" — u') (я= 1,2,3,...)
и применяя теорему HeIly так же, как и при доказательстве теоремы 7 главы 2, мы найдем некоторую неубывающую функцию Ф(и), удовлетворяющую соотношениям
OO
Sft= J иЧФ{и) (fe = 0, 1,2,...),
— OO
причем
Iim Ф (и; Яі) = Ф(и)
І OO
во всех точках непрерывности функции Ф(и).
Из неравенств (17) следует, что Ф(и) непрерывна всюду и удовлетворяет условию Cauchy-Lipschitz'a
0<Ф(іО—Ф(»')<1(в' —и') («">«')
Следовательно по теореме Lebesgue'a
а
Ф (и) = J f(u)du,
—OO
где /(и) некоторая измеримая функция, удовлетворяющая неравенству (16').
Наше утверждение доказано и, таким образом, имеет место Теорема 7
Для того, чтобы существовала удовлетворяющая неравенству
О </(«)<?
76. функция /(и), для которой
oo
Sa= f икf(и)du (6 = 0, 1, 2,...),
—оо
необходимо и достаточно, чтобы последователь-H О С T ь
te(L), Zf1(Z), t,(L),...
была ненегативна в интервале (—оо, оо).
При этом если эта ненегативная последовательность не является позитивной и р есть порядок поеледнего О Tл иЧH О ГО О T H ул я определителя в ряду
a0(L) =t0(L),
(о (L)I1(L) ti (L) t, (L)
то функция /(и) в существенном единственна, а именно почти всюду равна функции
где <?р(и), ір(и) некоторые полиномы степени р с перемежающимися корнями, которые могут быть определены из разложения
-Л , ia(L) , , , tIp-I(L) , — 1 -і---- f- ... Ч--57» Г • • •
Vp(X)) XX- X-'-
§ 3.
1. Рассмотренная в предыдущем параграфе Z-проблема, очевидно, не имеет решения, если последовательность {sft}(s„>0) не является позитивной в интервале (—оо, оо), так как в этом случае, если и существует неубывающая функция а (и), удовлетворяющая условиям
OO
Sft=/Vda(M) ' (? = 0,1,2,...),
—OO
то эта функция является обязательно кусочно-постоянной» т. е. разрывной, а значит условие
а (и") -а (и') <?(«" — и') («">«')
не будет выполнено.
Поэтому мы естественно приходим к следующему вопросу: дано, что последовательность s0, S1,..., Sn позитивна в интервале (— оо, оо); существуют ли ограниченные неотрицательные Функции /(и), для которых
OO
Sft=Jukf(u)du (? = 0,1,2,..., п),
—Cv-
77. и если существуют, то чему равняется для них
Inf Zvrai шах/(и)1.
i— oo < u < oo i
Для решения этого вопроса нам придется изучить введенные нами величины tk**tk(L) и составленные с их помощью определители Д* (L), как функции от L.
Лемма 1
Определители &k(L) удовлетворяют соотношениям
^k(L)= (— 1;*+1Ддг (— L).
Доказательство
Припоминая определение величин tu(L), мы замечаем, что
t ( -7- (J.u t i,«'+...) (S11V : S1V1+...) I JL
" v v ' і, A=O
