О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
—і
имеет только одно решение тогда и только тогда, когда она допускает в качестве решения L - ф у н к-цию порядка р— 1<я. Этот случай характеризуется тем, что последовательность
6O= 1, 3I. °2і- • •> 0Ji
имеет ранг p<n-j-l. Замечание.
Если бы мы заменили в условиях (9) неравенство
— L ^g(u) < L
неравенством
-L(1-в)<?(«)<1(1+9), .
то последовательность (И) пришлось бы определить с помощью разложения
—F+-UK-* + -" ¦ (?-1).
И это есть единственное изменение, которое для этого случая пришлось бы сделать в теореме 5.
70 Если бы мы, кроме того, заменили интервал <—1, 1> интервалом <а, Ь>, то нам пришлось бы последовательность' 1 определять из разложения
и требовать ее ненегативность в интервале <а, Ь~>.
Заметим также, что теорему 5 можно доказать непосредственно, а не опираясь на теоремы 3, 4 (см. Н. Ахиезер и М. Крейн [Irf]), что читатель сможет легко усмотреть из доказательства последнего утверждения теоремы 1.
Л. В. Канторович [6] предложил другое решение степенной /.-проблемы. Это решение напрашивается сразу с первого же взгляда, но при ближайшем рассмотрении оказывается неверным. Приводимые там условия необходимы, но не достаточны.
Отметим также, что в последнее время Verblunsky написал ряд работ, относящихся к рассматриваемому вопросу, повиди-мому, не зная ни старых работ А. Маркова, ни работ авторов. Не говоря о том, что все результаты Verblunsky'oro содержатся в самой первой статье авторов по /,-проблеме, они носят [lg] весьма незаконченный характер.
§ 2.
1. Перейдем теперь к /.-проблеме в бесконечном интервале
(— оо, оо).
Теорема 6
Для того, чтобы существовала кусочно-непре-рывная функция /(и), удовлетворяющая условиям
OO
Sft= f Ukf(и)du (6 = 0, 1, 2,..., 2m; s0>0)
(12) _зо
О < /(«) < L,
необходимо и достаточно, чтобы была позитивна в интервале (—оо, оо) последовательность
Uh ^li • • • і Іщо определяемая разложением
1Z^ si s2m \
(13) ,Tlr + - + --^!^^!+^ + ^+...+^+...
71. Доказательство
Отметим предварительно, что в силу соотношения (13) величина tk = tk(L) есть многочлен степени ?+1 от -J-, выражение которого дается формулами
Sl
StS0
= it (L) = + ^2(L) = ^ -т- L2
U (L) =
OM-I)!/:*+1
S0 -L О
2sj Sq — 2L
ftsfc_1 (ft— l)sft_2 (k—2)sft_3.
(Ar -1-1 )sft kSk-i (ft—1) SkJb2.
6 L3
0 0
0 0
So — -kL
2sj «0
Этими соотношениями мы в дальнейшем будем пользоваться. Чтобы доказать достаточность условия теоремы, возьмем удовлетворяющее неравенству 0 < L' <Z. число L' так, чтобы была позитивна в интервале (—оо, оо) последовательность
to(L'), k(U),..., (L'h
это возможно, так как форма
т
Sti+k(M) xt Xk о
есть непрерывная функция от Af >0.
Выбравши таким образом число L, воспользуемся теоремой 3 главы 1 и возьмем каноническое представление
т-И
2 Р.&? (ft = 0, 1, 2,..., 2т),
I=I
где Pi>0 и —СО <S2< . . .< Sm + ]< оо. Таким образом,
т+1
. , t„{L') Il(Lf) , , hm(L') , _1,V
і+—¦"+—?-+¦•• + х2т+1 + ••• -i+Z:
?i Фт + I(X)
»=i
где
<Pm+l(^) = (JC —У (* — St). • •(* — Sm+i),
фот+1 (X) = (X-Tj1)(X-YI2). ..(X — ~Цт+і),,
и, как легко видеть,
< -Tk <&г <• • • < rIт+1 < S/71+1.
Полагая
?*, ч L' I , . Vl-I (") I I-Slgn-w),
72. найдем без труда, что
Vm+l(X>
— оо
Логарифмируя соотношение (13) после замены в нем L на L', получим, что
«1 I «1. L I X "r^i ^r""'rx2m+J
A. -,J1 1 ЬЮ І ЬМ I I , I.
-f----i^li- х І" д-2 "Г-"Г хш+1 І"--. I
Следовательно,
oo
— со
ос oo
ft - о —oo
откуда вытекает, что
oo
Sft=S j икft'(и) du (? = 0, 1,..., 2m).
—oo
Теперь докажем необходимость условия теоремы. Пусть /(и) удовлетворяет соотношениям (12). Взявши произвольное положительное число N, положим
N
S1P- J ukf(u) du (? = 0, 1, 2,..., 2т)
-N
и определим соответствующие величины t*1* t'^ (L) (? = 0, 1,..2т).
Принимая во внимание замечание к теореме 5, мы находим, что последовательность
°0> а1>•••> °2m+l>
определяемая из разложения
AN) JN) .(N)
1
exp
X +N
f , /jW Я jW \|
I 1 I 0 I 1__L _!_ tm 11 gB I
\ L \ X л:2 T am+ij)" x T
+ -^¦+•••+-Sii+r+-" (3O=I),
ненегативна в интервале (—N, N), то-есть неотрицательны формы
т
^[Naiik ± e,+*+1)XiXk. о
73. Замечая, что
tiN) = Nok + ok+l (6 = 0,1,...,2 т),
мы получаем, таким образом, что форма
^ AN) t и kXiXk
о
неотрицательна при любом iV>0, а так как lim fi^ — tk, то неотрицательна форма n^co
т
^tг: kXiXk,
/ о
а значит последовательность
^o, ^i, • • •, t2m
ненегативна в интервале (— ob, оо).
Остается доказать, что эта последовательность позитивна в интервале (— 90, оо).
Допуская противное, мы найдем в силу теоремы 5 главы 1, что имеет место представление
4 = (6=0, 1,..., 2m-1)
»=i
t-ш=? P1jWm+M (М > о, р i=i
(р > Ib силу S0 >0), причем M наверно равно нулю при р=т.
Рассуждая так же, как и при доказательстве достаточности условия настоящей теоремы, мы найдем, что
OO
