О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
положительны.
Поэтому X есть корень уравнения
O0-O1 O1-O, M "т+1
gI- Ч о,-O3 — gm+2
"т — "т+1 gm+l ~ ат+2 • • Hm ~~ 1 2L
= O
при п = 2т и уравнения
(О
«,— О, O1—O3
O1 — O3 Oj — O1 . . . 0„ I , — O1
mf 1 "ш+З
При it — 2т + I. Таким образом,
вт+3 • • ' g2m Зш+г
m-1
gi+ft+l О
m
— "г+ft+i О
= О
IOO. при л = 2т и
(О
т—1
a/+ft —°і4*+2 0
m
°»+s - 'і+я+а О
при л — 2т + 1.
Нетрудно вычислить величину X.
Действительно, на основании разложений (P) и (8) н раздела 2 § 1 главы 1 X есть половина квадрата старшего коэфициента ортонормнрованного полинома степени т относительно веса
l+e
. v 1 Kl і 1 -и\ «
при л = 2т и относительно веса
j
I «9 -і/1 — иV
при л — 2/ге + 1, вбо
і і — "ft+i - /л (") "к — aki2= //7H (") "ftrfu (A = о, 1, 2,...).
—і
-I
Так как мы имеем здесь веса, которым отвечают поливомы Jacobit то на основании известных выражений для полиномов JacoW (см., например, E Гончаров И, стр. 91-94): ^a1x
I I l * )
^eWJ 1 _ 1 \ т J \ т /
4т+1 (т 1 + " \(т \ 1+"\
V т Am+U
(2m^)Cm:')
прн л.= 2/ге и
(О
X =
4 т + 1
fm +
V т
1±2 2
Y"*+-
Г)
я» + 1 / \ т + прн п — 2« + 1.
Нам остается найти экстремальный полином Р,(и), иными словами полином Ф (и), корнн которого принадлежат интервалу — 1 < и < I н через который функция Д (и) теоремы 11 представляется в виде <¦
Д (и) - X {8 + sign Ф («)}.
Согласно замечания на стр. 99 экстремальный [полином Pe(и) единственен и значит Ф(и) есть полином точно л-ой степени.
Рассмотрим случай, когда л = 2т.
Обозначая кории полинома Pt(U) через
имеем где
tl<ih<h< ..-CbnCTm
Л>(") = *4>(и) = ?("Ж")
tp (и) = (U-S1) ...(и—Sm), ф (И) = (и — кц) ... (и — Tjm).
(S,>-1, TmCl). (е»±1),
IOl Следовательно,
Yxt- \\x + lj I 2 J X-H J
—і
-тзЬ-^/-^-}-
—X
e
= 1_fx + ])x I Jdflle
J I V(X) J
<4>
Ho полученное выражение совпадает с рядом
где X есть корень уравнения (е).
Поэтому коэфициенты ряда (V) допускают представление
ті I
р»«f (ft = 0,1,
i=l
лИ 1
г^і
где р<>0 и
— I < O1 < 04 < ... < om < am M Отсюда следует, что функция (i\) равна
m+t
Y —
2а х —<ч'
°гт , ( 1\_1_
Xini1 \0ш+1 2\ J Xtm
г=і
Значит s = l и а,- = (г — 1, 2..... т).
Итак, мы видим, что
t 1H*)
JC — t ?(JC) * . "" JC2wtl ' V zm+1 ' 2Х/
Следовательно,
<|/(JC) O1--J, O2-O1 0Im-1W-I ,
-——=»+¦-+--* + +--г,=-+ •••
о (JC) X X1 х
и в силу (?):
і i+e
IWziiM + t (±\ _ J_ cosfe Г Zi-.N « ?(JC) JC1wh^V*/ * 2 J Vl + и/
—1
1+»
—(Sf)1-
102. Отсюда
и, значит,
1W, «ЛІ \ [^zlX
I(X) хш+1^\х) \x + l)
1
JLMl , « ґ±\ = ff±±V
1-f в
1+в
^$1(-7) = (f~) -1 =
1 «9 Г /1 + и N
= V cos 2 J Ir=Fi
1-й
2 du
Найденные формулы показывают, что ф(и) и СУТЬ ортогональные по
линомы степени т с равными единице коэфипиентами при ит относительно весов
1+6 ив
1 яб / 1 — UN2 1 Jd /1 -Ь« N 1
- cos -JJ-I —— , — cos -.-
it 2 W 4- и / it 2 ч 1 — и /
Отсюда, обозначая, как обычно, через Jjj"* р,(и) полином Jacobi степени п относительно веса (1 — и)а (1 + и)3 , нетрудно получить экстремальный полином Р0(и) в виде
/Lti _LU\ /_ 1"Ьв LiiN
4 Iwl Jm , (u) (и)¦
Аналогично прн п = 2т + 1 найдем, что
/1+6 і—в\ /Lii '-8X
Проблема 2
Дана комплексная последовательность
съ Ci,..., сп—і.
Рассматривается совокупность всех тригонометрических сумм
7(*) = ?1 V"'.
/с-_ _ (я_1)
длякоторых
2% о
103. Пусть далее
? (с-ь = сії
А=—(л—1)
требуется найти
sup max I Tc (?) I •
0<<p<ftt
Решение
Применяя к последовательности
' C0, C1,..., Сц—і
теорему 11а, найдем Ї. - функцию fx (t) порядка <2и, для которой
2п
Ck= f UQeiktdt (k = 0, 1,..., й-1) о
Легко видеть поэтому, что
Zn
TVs С») — УЛ(Ф) У H- Ф> ^ч».
о
Отсюда "
2п 2«
іадк Дшн д?+IW= \Я 7^-H) Id^k-
о о
С другой стороны, беря в качестве 7(<р) тригонометрическую сумму Г*((р) порядка < га—1, меняющую знак в тех же точках (а их < 2га — 2), где меняет знак f.Jft), и нормированную согласно равенству
2*
/1 Г*(<р)|^= 1,
о
мы найдем, что
1% "Зя
тс*(0) = / Ш т* (ф) ^ - / |/х(ф) I ¦ I т* (ф) I =
о о
Следовательно, искомая величина равна числу X, определенному в теореме'11а.
Таким образом, какова бы ни была последовательность
C0=^O, C1,..., с„-х,
104. можно указать уравнение, наибольшим корнем которого есть1
Я—1
max IV с ? eikf I
і - sup „ aZf }-.
Eft ГI S
о -(»-D
Легко видеть, что та же величина А дает значение
I ,?
sup -;
* [ I S ** eiftIrf?
о -C-D
. 1
иначе говоря, — есть
2я п—1
min ГI Sft eik? j dy •ft о -C-D
при условии
я—1
(*) S 'A= 1-
-С-1)
На то обстоятельство, что обратная величина минимума интеграла
in л—1
при условии (*) совпадает с нижней гранью для L, при которых проблема (2) имеет решение, обратил наше внимание Я. Л. Геронимус, рассматривавший вещественные тригонометрические
