О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
Um (U-Sfcve+'м> 1-І
где р<С_т+1 и M^0, причем M наверно равно нулю, если P = т.
Из этого представления вытекает, что
, ия(ьд-м t Поэтому функция
/.Jlt, ^{l-s,g„ 1=???^}
удовлетворяет уравнениям
OO
Sft= ju*fl Ja) du (A=0, 1____,2/re — l)
—OO OO
' =2 OT= Jutmflju)du,
— со
где определяется из условия
і j / с с 99m v
Є і T ^ T---T д.гт+1 T-
так что в силу формул (13') , .
т К»
TTl
в то время как
± /ч ч sZm , sOS2m-I
ЬИМ—х^- +-^—+•••
TTi
Значит
®2ш "S= Sim,
причем знак равенства наверно достигается, если р = т., то-есть, если Xm > Xm-!.
Итак, существование функции /(и), удовлетворяющей условиям (24'), (24") и неравенству
0^/(и)<Хт
доказано.
Допустим теперь, что /(и) есть какая-нибудь функция, удовлетворяющая условиям (24'), (24") и неравенству
О </(«)<?< Xm
и не равная почти всюду функции /* (и). Так как разность
/;„(»)-/(«)
почти всюду имеет тот же знак, что и полином степени 2р (-Iy-1Ap(U5-Xni)Ap (a; Xm),
то
Jo
(-1)"-1 }{Пт(и)--fill)} ^(U- Xm) Др(м; Udu > О
—СО
83. или
ОС — OO
Но это неравенство абсурдно, так как при р <т левая часть равна нулю, а при р = т она больше или равна нулю на основании (24"), (24"'j.
Теорема, таким образом, полностью доказана. 3. Для дальнейшего является полезным ввести следующую терминологию: будем говорить, что последовательность
sc, s1, s2, . . ., Sirnt
позитивная в интервале (—оо, оо), совершенна, есл^ для функции /*(и), минимизирующей величину
vrai max /(и)
— OO < и <оо
при условиях
/(«) > О
Sk = f Uk J [u) du (6 = 0, 1,..., 2/п — 1)
—оо
OO
> j иш/(а)da,
— со
имеет место равенство
OO
Sim= JU2mf * (и) du,
—- со
и несовершенна в противном случае. Из теоремы 9 вытекает такое
Следствие
Если последовательность
s0, s1,..., Sim
позитивна и если Xm > X
т—і, то эта последовательность совершенна.
Действительно, в силу неравенства Im > lm-i ни один из определителей
MU,---, Am-I (Ьт)
неравен нулю, так что число р теоремы 9 равно т. Лемма 3
Если из двух (позитивных) последователь -н о с т е й ,
(25') S0tSu-^fSzm -
(25") s0, s1,..., s2m-2 одна несовершенна, то другая обязательно совершенна.
Доказательство
Допустим, что несовершенна последовательность (25'), так что в силу следствия теоремы 9t Xm = Xm—J. Поэтому функция
удовлетворяющая условиям
О </*(«)<. Xm,
со
Sk= f uk f* (и) du (k=0,\,...,2m—\),
¦— OO
¦і OO
Sim > f U*mf* (U) du,
—-со
удовлетворяет также неравенству
О </*(") <>-«- г
и значит последовательность (25") совершенна.
В силу уже доказанного, если последовательность (25") несовершенна, то (позитивная) последовательность (25') не может быть несовершенной. Таким образом, лемма доказана.
Допустим теперь, что нам задана позитивная последовательность (25")
(25") S0, S1,.. ., s>m—2
И некоторое вещественное ЧИСЛО S2m-I .
Рассматривая удлиненную последовательность
(25')
S0, S1,. . ., Sim—1, S%m
с переменным числом s2т, удовлетворяющим неравенству Stm !> Uim — Uzm
(So, S 1, • • •, Sim—i), где Uim определяется из уравнения
So ¦ S1 • • Sm
Si S2 • • Sm (-і
Sm— -1 Sm . . • S2m-I
Sm Sm+i • • Uim
мы изучим Xn =Xni(S2m), как функцию от S2m-
Из определения Xm, очевидно, следует, что Xm(S2m) есть не-возрастаюшдя функция от s2m. Лемма 4
Если последовательность (25') несовершенна при Sim = s2m, то она несовершенна при любом Stm >
>hm-
Действительно, в силу следствия теоремы 9
^m ( S2m) — Xm-I-
С другой стороны,
Xin (s2m) > Xm_i
и
Xm (Slm) < Xm (s;m) при Stm :? S1bn.
Поэтому
Xm (Szm) = Xm_i
ДЛЯ любого S2m > Sjm. '
Значит функция /* (и), минимизирующая величину
vraimax /(и)
при условиях
Sk= JUk / (й) du (k=0,\,....2m-'\),
-OO
со
Szm > J uim f (и) du,
/(«) > О,
совпадает с / * п, а для этой функции
/и2т/>* И du < s2m < s2m,
т—1
что и доказывает наше утверждение. Из доказательства леммы 4 вытекает
Следствие
Il
Если последовательность (25') при s2m = s'im несовершенна, то функция Xm(S2m) сохраняет постоянное значение Xm-I при S2m > S^m.
Покажем теперь, что позитивную -последовательность
S0. • • • Stm-I
всегда можно так продолжить, чтобы полученная последовательность (25') была совершенна. я
С этой целью возьмем какое-нибудь число L*, прево&содя-щее Хт_а и определим Sim-Slm из условия \
bm(L*) = 0.
86 і Так как Xm (s*m) есть наибольший корень уравнения
Am(Z)-O,
то * ,
Xm (Sim) > Z. > ^m-I-
Поэтому на основании теоремы 7
» .
Sim Mim,
а на основании следствия теоремы 9 последовательность (25') при Sim = Sim будет совершенна.
Доказанное обстоятельство вместе с леммой 4 показывает, что'возможны два случая: либо существует некоторое число tOчт — vIm(so, sv.. .S2m—\) такое, что последовательность (25') совершенна при
U2т Sim tVim
и несовершенна при
Sim ^r т>
либо последовательность (25') совершенна при любом s2m> Utm. Впрочем, можно считать, что второй случай включается в случай ПерВЫЙ При ^sm = CO.
