О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
44 Согласно теореме 9 главы 1 при любом п существует представление
п 2it
= Г (^=0. і--- - «-а
7-і 5
где a„(J) определяется, как некоторая ступенчатая функция с п точками роста, причем з„ (0) = 0. Так как
2тч
0<an(J)< Jrfsn (J) = C0 (0<J<2tt),
о •
то к последовательности функций {a„(J)} можно применить теорему Helly1, в силу которой существует такая подпоследовательность {ап. (г!)} и такая неубывающая функция з (J), что во всех точках непрерывности функции о (J):
lim an. (J)= о (J).
І—> OO
В силу второй теоремы Helly 1 для любого k:
2 it 2тс
Г Ло (t} = lim f eMdsn {t) = ck.
Остается доказать, что з (J) имеет бесчисленное множество точек роста, но это следует из теоремы 1. Теорема 3 Пусть
C0, C1, ... , Cn-I
некоторая позитивная последовательность и
(3) с* = Sp/a? (^ = 0,1,...,л-1;р,>0;ау = е"л0<^<21г)
какое-либо из ее канонических представлений. Если неубывающая функция a[t) удовлетворяет уравнениям
(4) cR = femd3(t) (k = 0,l,...,n-l)
о
и отлична2 от 3n(?) = Spj, то в каждом из интерв,а-
Ч<1
лов (t,, tj i\) (J = 1, 2, . .. , я; J„+1 = J1 + 2я) лежит, по край-неймере, одна точкароста функцииз (J), продолженной за пределы интервала < 0,2л > согласно равенству о (J + 2is) - C0 + о (J).
1 См., например, В.1 Гливенко, интеграл Стильтьеса, стр. 60—64.
2 Мы не считаем функций о(0, оп(О различными, если они отличаются только на аддитивную константу во всех нх точках непрерывности.
45 Доказательство
Доказываемая теорема является обобщением теоремы 10 главы 1 и может быть получена тем же методом, что и указанная теорема.
Проведем рассуждение, например, для интервала (^1, t2). Положим
п
F(t) = sin^-sin Ц^-2 Flsin2'
так что F(t) есть тригонометрическая сумма порядка л—1, равная нулю в точках t,. Поэтому в силу представлений (3), (4)
2 тс п
(5) fF(t)d* (?) = 2 ?,F(t,) = 0.
Заметим далее, что
F(t) > 0 при t2<t <tl + 2n,
F(t) < 0 при < t < t2.
Если бы функция a(t) не имела точек роста в интервале It1, t2), то из (5) следовало бы, что
I1 ' 2к
fF(t)di(t) + jF(t)da(t) = 0;
о Z2
но это равенство возможно только тогда, когда единственными точками роста функции a(t) являются нули функции F (t), что противоречит нашему условию.
Таким образом, a (t) имеет, по крайней мере, одну точку роста в интервале U11 t2).
Условимся функцию / (z) называть функцией Caratheodory или коротко С-функцией, если она в круге \z\< 1 регулярна и имеет положительную вещественную часть. Относительно таких функций имеет место:
Теорема 4 (F. Riesz-Herglotz).
Для того, чтобы функция /(z) была С-функцией, необходимо и достаточно, чтобы она допускала представление
2тс
f(z) = i%f(0) + J~^d«(t) (\z <1),
о
где си(t) — неубывающая функция. Доказательство Если.
f (z) = C + C1ZJrC2Z1+ . . .
4Г) есть С-функция, то при любом п и любых
X0, • • •
п
са-? -ХЛ =^lim ~ j {/(re®) + f(re")} U0 +
а, ?=0 О
+ JC1Crt+... +xneinH\ 2dB>0 (с0 = с + с)
и значит, последовательность (?} ненегативна. Но тогда по теоремам 1, 2 существует неубывающая функция з (tj, удовлетворяющая уравнениям
(k = 0, 1,2,...),
а следовательно, о
2тс
/(г) = с + Сіг+^+...в?^?+-1- J-Lt^Ldo у) (|г|<1).
о
Обратно, если при некоторой неубывающей функции <s(t) имеет место написанное равенство, то функция / (z), очевидно, регулярна в круге |г|<1 и
2тч
KfW=-T J 1=27^Гцтїї+ г* О >
о
Теорема доказана.
Сопоставляя эту теорему с теоремами 1, 2, мы приходим к следующим результатам:
Теорема 5а (Caratheodory-Toeplitz).
Для того, чтобы существовала С-ф у н к ц и я / (z),. удовлетворяющая условию
/ (Z) = С + C1Z+ . . . + C1^1 z"-1 + Zn% (Z),
необходимо и достаточно, чтобы последовательность { Ck была ненегативна (с0~ с + с). С-функция /(г) определяетсяоднозначно своими первыми к о-э ф и ц и е н т а м и с0, C1, ..., Cri-\ тогда и только тогда, если ранг р последовательности {ck 1 меньше п, и в этом и только в этом случае она есть рациональная функция вида
с-с ,
2 + 2 LT^Tb1' і=1
Поясним последнее утверждение теоремы. Если функция f(z) имеет вид
_ P
С —С 1 у I+Ci 1Jz
2 + 2 Zj , _ eitjz Pb /=1
-'T то коэфициенты Ck допускают представление
/=і'
и значит, ненегативная последовательность { ck } имеет ранг р.
Обратно, если ненегативная последовательность {о* } имеет ранг р, то построивши для нее указанное каноническое представление, мы получим, что
Таким образом теорема доказана.
Теорема 5b (Caratheodory-Toeplitz).
Для того, чтобы степенной ряд
С + C1Z-J-C2Z2+ . . .
представлял С-функцию, необходимо и достаточно, чтобы последовательность {Cfe } (с0 = с + с) была ненегативна.
2. Полученные нами теоремы позволяют решить степенную проблему моментов для конечного интервала, которая была изучена А. А. Марковым [13а] задолго до Caratheodory и F. Riesz'a (правда, А. А. Марков не выражал своих условий на языке форм или определителей).
Для этого достаточно воспользоваться теоремой 17 и замечанием на стр. 34 о разрешимости соотношений (3) (стр. 31) относительно величин Ck . Таким путем из доказанных нами в этом параграфе теорем немедленно получается1
