О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
" ¦( п Л/ 2
SSft^M =
ft- о
! ,
ТО
где
T2m(Z) =
S Um-Zl COS kt
ft ^o
2
k= о
+ Sln2?
ft
sin kt
sin
um — ^mr U-tn—k — ^m-ft+ Sm7 ft, Um . ft — ^m-ft — Sm+fc (&=1,2,... tfl)
Tim-J (Z) = COS2-
\
П
cos
Vm-k
.H=I
COS Y <
+
32 + Sin2
fffl+t
sin [k-1-)^
Lft=i
sin -t
где
vm-k = Sm-ft + ?/TM ft-l, Vm+k — bm-k — Sm-ft—J (A = 1, 2,. . ., /»). Вводя новые переменные .?, Ух равенствами
m m
S йт — ft COS kt = S ^fc C0S* ^
ft — О
т
Ь
?-1
ft = о
m—1
SiIl kt 'О
ft=0
при n = 2m и равенствами
cos (й-1^m—ft У
V cos (k — 11 ^
ft= і сої> 2 А=о
m / 1 \ т—:
у, „, ^zzli, у
,.„«J. / Z-
COS* t,
Yk cosft t
COS-у t
ft---о
т—1
(m—1 \ 2 /m—1 \2
?ЛГайЧ +(1-й) S r^ft '
ft=0 / Vft--O '
при л==2/и—1, найдем, что
^m Ог)=(І XftWft ) +(l-«2)( SW) '
/m-1 •(?
\ft о
где U = (z+ ) = COS Отсюда
© [ Tim(Z) }==©)( 2 *»«*)} + S ((1 - «2) (? rftyftJ} > °>
(5.)
<? { T2^1(Z) } = @ J (1 + a) ^ wjj + б { (1 — и) Пи») J > О ,
так как каждый из полиномов, стоящий под знаком б, неотрицателен в интервале <—1, 1>. Теорема доказана.
Ахиезер и Крейн—65—3 33 Замечание
Отметим, что в силу соотношений (3) имеет место следующее формальное тождество
fr-1+w^
_____{Л~~2іГ~ '
где /Xі — I > 0 при л > I (0 < w < 1).
Мы можем вывести это соотношение с помощью (3'), для чего предположим, не нарушая тем общности, что последовательности {Ck}, {sfe} бесконечны.
Имеем формально
-«{гУ+'Ь^ЧжНЁН-
I ft—о J I ft=0 ) = C0 + 2c^w + 2с2Й/2 + ... Заметим также, что формулам (3') можно сопоставить формулы
(3") ck = Q\Hk{u)} = 1 ,...,re),
где Hk (и) некоторый полином от и степени k, которые являются обращением формул (3).
Действительно, если мы положим
+ = (fe = 0, 1, ...),
то в силу (3")
а с другой стороны,
Ч = (Ck+ C^k)= ck (й-0, 1,...).
При выводе соотношений (S1) (для квазиполинома (5)) мы не опирались ни на какие специальные свойства последовательности с0, C1,..., сп или преобразованной последовательности s0, Si,..., sn. Поэтому, пользуясь дистрибутивностью функционалов © и 6 и заменяя в (5,) &{zk} на ck (k = 0, ± 1,..., ± п), a S>{«ft} на sk (k = Q, 1,..., п), мы попутно получаем следующее предложение:
34 Теорема 18
Вещественная теплицеваформа
п
о
может быть преобразована при я = 2т в сумму двух независимых форм:
т т— 1
(7,) + —s't*+>) YlYk,
О О
а при и = 2m — 1 — в сумму независимых форм:
т—і т—1
H-к i) XiXk ~h S (S/: k — Si - *+') YiYb ;
о о
при этом числа ck, sk (k = 0, 1,..., п) связаны друг с другом соотношением (6). Обратное предложение тоже имеет место.
В силу теорем 12, 17 из теоремы 18 немедленно вытекает
Следствие
Ранг ненегативной в <—1, 1> последовательности (2) совпадает с суммой рангов двух квадратичных форм (7,) при п — 2т и форм (72) при п = 2т—1.
2. Сопоставляя теоремы 6, 17, 18, мы приходим к предложению:
Теорема 19
Для того, чтобы последовательность (2) была позитивной (ненегативной) в интервале <—1, 1> необходимо и достаточно, чтобы две квадратичные формы
т т—1
SiikXtXk, ^Vj (Sj k — S1--HH і) XiXk
и О
при п = 2т и две квадратичные формы
т—1 т—1
^ fS/+ft -f Si + k+\) XiXkl ^ (Si+ft — Si+*+l) XiXk
О О
при п = 2т — 1 были положительными (соответственно неотрицательными).
Эта теорема вытекает также из предложения F. Lukacs [35], согласно которому всякий полином Gn (и) степени п, удовлетворяющий условию
Оп(и)фО, Gn (и) > 0 при—1<и<1,
35 допускает представление
(т 4 2 /т—1 . \ 2
SAftaft +(I-«2) 2 Kft и* при п = 2т
k^O ' ^k=-O /
и
(m—l \ S im—і \*
S +(1 -и) 2 YkUk) при n = 2tn 1.
A=0 ' \ A=O '
Действительно, из этих представлений следует, что
т т—1
@{G„} = ^tSnkXiXk + ?(s,+ft-Si+k+JYtYk
О О
при я = 2т и
т—1 т—1
@{Gn}= ^(silk + si+k+i) XtXk+ ^(Si+k — Si+ft+i) YiYll
и О
при п = 2т— 1. Замечание
Если бы мы заменили интервал <—1, 1> интервалом <а,Ь>, то вместо приведенных в формулировке теоремы 19 форм пришлось бы ввести формы
т т—1
2Si HlXiXkt — ? { abSi I k —(a +b)Sijfk ^ +Si ffe+3} XlXk о о
при п = 2т и формы
m—l т—1
^{Si+kii—aSi tk) XiXk, ^(bsi+k — si+k+i) XlXk
о о
при п = 2т— 1.
Каждое представление вещественной ненегативной последовательности {ck} :
т
(Si) Ck = ^iPiCOSktt (6=0,1п),
і і
в котором р/> 0 и t,- — вещественны (/ = 1,2,..., т.), порождает представление соответствующей последовательности {sfc}:
т
(82) = SPi-J (k = 0, I,..., п),
/=і
в котором числа р/ — те же, что и в (8Х), а
(83) Sy = COs^ (/=1,2,..., т).
Обратно, каждое представление (82), в котором р,- > О и —1<-, <1 Ij ==1,.. .,т), порождает представление (8,), в котором фигурируют те же числа р/, что и в (Sa), a tj (/ = l,2,...,m) определяется из (83).
36 Действительно, из (8х) следует, что для любого квазиполинома
Г(Z)- ? AkZk (A-U=Ak)
имеет место равенство
