О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
т .. j^i
Следовательно,
т
Sk - S{(2+4-)*} = 2 Р'со8**' (/г=0' 1^-"
Пусть теперь дано (8а); тогда для любого полинома G (и) степени < п\
©{o}«|;p,o(cos^),
откуда, припоминая (3'"), найдем, что
m m
= S Рї Hk (cos ?,) = Yi Pi cos ktj, і-1 /=1
что и требовалось доказать.
Сделанное замечание приводит в силу теорем 13, 14, 15, 16 к следующим предложениям
Теорема 13а
Если последовательность
S0, S1, • . ., Sim-I
позитивна в интервале <—1, 1>, то существует ка-' ионическое представление
т
Sk= SPA* (? = 0, 1,..., 2т —\ ),
J= і
где
Pf > 0 (у' = 1, 2,..., т)
и
— !¦<?,< S2 <...<?«< 1,
1 Ср.: А. Марков [13а] и К. Поссе [15].
37 а также каноническое представление
т
(ft = 0, 1,..., 2т— 1),
J= о
где
Р;:>0 (/-0,1,..., «)
и
— 1 = 50 < Si < . . . < Sm-I < Srn = 1 ;
при этом
So < Si < Si <... < 'in ^ sm • Теорема 14а—15а
Если последовательность
S0, S1,..., Sam 2
позитивна в интервале < — 1, 1 >, то существует бесчисленное множество канонических представлений
m
^=Sp/'/ (ft = 0, 1,..., 2ОТ-2),
= 1
где
Р/>0 U = 1, 2,..., т)
и
-1 < S1 < S2 < •. • < Sm < 1;
среди этих представлений существует одно, для которого S1 = — 1, и одно, для которого Sm = I; системы S1, S2,...,Sm, отвечающие двум различным представлениям, перемежаются.
Теорема 16а
Если ненегативная в интервале <—1, 1 > последовательность
«о, , •-., Sn
имеет ранг р < я + 1, то единственным образом определяется каноническое представление
(9) Sft= S P/S/ (ft = о, 1,..., я),
/=1
где
Pj > 0 (7 = 1, 2,..., г)
и
— i<s,<s2<... <Sr<l.
В этом представлении г равно рангу формы
т г .
^jSilkXiXk, где Ot=KM, о L 1
38 а также^, равно порядку последнего неравного нулю детерминанта в ряду
D0, D1,. ¦ ¦, Dm
где (см. § 1)
Dq = I Si+k Io-
Последнее утверждение нуждается в небольшом пояснении. Из (9) следует, что г<;/п + 1 и
т г
(9') >. SiskXiXk = ? Р] (X0 + X1=/+. •. + XmV )2,
О J=I
так что г равно рангу написанной формы, а следовательно Dr = Drfl= ... =Dm = 0.
С другой стороны, полагая в (9') Xr = Xr^=... =Xm = O, найдем, что форма
rYiSi^kXiXk = 2 Р/ (X0+X1Ii +... + X^r1)2
о
положительна, а следовательно,
D0 > О, D1 > 0,..., Dr_i > 0.
3. Нам остается дать правила для вычисления непосредственно через S0,
S1.....Sn чисел р/. в теоремах 13 а, 14 а, 15 а, иными словами, правила для
построения квадратурных формул, отвечающих указанным теоремам. Даднм сводку упомянутых квадратурных формул:
1) Для любого полинома G (и) степени <2т — 1 (теорема (13 а)
т
(A) S(G(M))=VpjG(Si); р/ > 0; — 1 < S1 < S2 < ... < Sm < 1 ;
J=і '
т—1
(B) <3 {G (и)} = Po G (- ь + pj-G (Sj) + PmG (1); Pj > 0;
/=і
— 1 = ео - < C-i < С - 1-
2) Для любого полинома Я(и) степени <2т —2 (теорема 14 а —15 а j:
т
(Cl1 ) 6{Я(«)}= PlW(-l)+ ??/#($/); p/>0;-l=?i<52<.-.<5m<i;
/=2
m—1
<c+j) © {//(a)} = 2 P;.tf (5,0 + Р;я(1); p; > 0; - 1 < e; < s; <.. •< Sm = 1. J= 1
1 Если г = m + і, то эти равенства отпадают.
39 При этом предполагается, что последовательность (2) S0, Si,. ¦ ¦ sn,
где п = 2т= 1 (формулы (Л), (В))или п = 2т—2 (формулы (CLj),'(CflJ)j позитивна в интервале <—1, 1>.
Начнем с квадратурной формулы (Л).
Последовательность (2), позитивная в интервале <—1, 1>, будет, очевидно, позитивной во всяком интервале, который объемлет интервал <—1, 1>; в частности, она позитивна в интервале (—оо, оо). Поэтому можно применить теорему 3, из доказательства которой следует, что числа S1, S2,..., Sm суть корни ортогонального полниома
Pm (и) -
S0 S1 . . • Sm
Si S2 . . ¦ sm і 1
V -1 sm¦ ¦ • s2m—1
I 1 и ... Um
Что же касается соответствующих им чисел р., то их вычисление легко получается с помощью § 1.
Переходим к квадратурной формуле (В). Полагая в ней;
G (и) = (1 — и2; Rm_i (U)Uk
(,k = 0, 1,..., от—2),
где
Rm^1 (и) = const, (и - S1') (и - ^) ... (ц — )
(? = 0, 1,..., т — 2).
мы найдем, что
6{(1—(и)и*} = 0 Отсюда, вводя оператор ©*:
4 = б*{"*}=©{(1-"2)«*} = Sft-Sft42 (А-0, 1,...,2^-3)
»
мы заключаем, что Rm^ (и) есть ортогональный полином степени т — 1 относительно новой последовательности s?, s*,..., Sjm_3, которая, очевидно, также позитивна в интервале <— 1, 1
Применяя полученный нами для случая (А) результат, мы находим, что числа .., S^1 суть корни полинома
Rm-X <«) '
S0- Sa Si —'Ss ¦ Sm—l — 5т+1
Si- S3 S2 — S4 . . • Sm Sm
sm- S Sm sm—l sZm-S — s2m—і
1 U Mm-1
Чтобы найти числа ру, достаточно положить в формуле (В):
(1 -и*) Rm-I (и)
a (U) :
и-5,.
(' = о, 1, 2..... т).
40 1,2,..., ти — І)*
Pm " ® И» + a) Rm-I (и) } •
Обратимся теперь к квадратурным формулам (CL1), (C+J). Легко видеть, что здесь можно применить теорему 3, согласно которой при любом і), если только Pm_i ('i) цг 0, существует одно и только одно каноническое представление позитивной н интервале (— со, оо) последовательности (наковой, очевидно, является последовательность (2)).. в котором система чисел 6/, содержить точку Tj. Мы должны тольки убедиться в том, что Pm^1 (— 1) ^"0, 0, но это немедленно вытекаетиз позитивности в интервале 1, 1>-последовательности (2). Действительно, если бы, например, Р(П_1 (1) = О, то в силу неотрицательности в интервале <— 1, 1 > полинома
