Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
W=O
/»(*) -міх ~\)=І2> ^m' Пример 4. Дано Т5(х) = Sx- 20л3 + 16л8; найти Т'(х).
тогда ат задаются рекуррентно через аш соотношениями
- 2а{Г1) - aS&i (ж = л - If я - 2, ...J-
j — 0, 1, 2.....и),
- <W2 (m « 0, ], 2, п), a(J} =2*ап (7= 0, 1, 2, .... и), 4?"= 4 (m = О, I5 2, .... л).
5 4 3 2 1 0
-1 S = afu 0 -10 = at" 0 2.5 - а'г" 0
0 16 -16 4 4 1 — 1 = oj
1 32 -64 56 -48 50 - al
2 64 -192 304 -400 = oj
3 128 -512 1120 - іij
4 256 -1280 - 4
5 512 = а\
Итак, Т*(х) -= 512л5 - 1280л4 -г 1120л3 - 400л2 + 50л - 1.
22.19. ПРИБЛИЖЕНИЯ ПО МЕТОДУ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
D — -непрерывный интервал
Постановка задачи. Дана функция f(x) (заданная аналитически или в виде таблицы) в области Df которая может быть непрерывным интервалом или множеством дискретных точек *>, Аппроксимировать f(x) многочленом Я",,(л) заданной степени п так, чтобы взвешенная сумма квадратов поірешностей в D была наименьшей.
Решение. Пусть w(x) ^O — весовая функция, вы-браннан в соответствии с относительной величиной погрешности в различных частях D. Пусть fm(x) — многочлены, ортогональные в D относительно vv(x), т.е. (fm, fn) - Одля m^n, где
^(wx)f(x) g(x) dx, если D — непрерывный D
интервал,
(/, g) =
N дискретных точек Xm-
Ых) =
а» = </. AVCfi.. M-
/(•*) — функция с интегрируемым квадратом (см., например, [22.17]).
Пример 5. Найти по методу наименьших квадратов многочлен пятой степени, аппроксимирующий функцию
Дх) — —-— на отрезке 2 < X < 5, используя весовую
1 + X функцию
Jf(x) = — ------»
л1(х - 2) (5 - х)
При такой весовой функции наибольшая точность аппроксимации достигается в окрестности концов отрезка.
2х — 7
Перейдем ж отрезку [—1» 1]: t = --
, ,44 2 1
«W0) - - ^J== •
Из 22.2
/„(<) = Tm(I), 1 1
-Jr' 1
,1( -J
Ju J Vl-
« + 3 dt
Tm(I) dt (тФО), 599
22. ортогональные многочлены
Вычисляя интегралы, получим —J— ~ 0.235703 - 0.080880А I
+ 0.0138767^ ^2*" ?j - 0.002380Гя ^2* ~ ?j +
+ 0.0004087^ ~ 7 j - 0.0000707",, -plj '
D — маожестео дискретных точек
Если хт — *п (т — 0,1,2,..., N) к н<х) • - 1, используем многочлены Чебышева дискретного переменного из 22.17.
Удобно ввести здесь несколько другую стандартизацию. А именно такую, чтобы
!(ЛГ-м)|
—0 \ т і \х- m)tw!
OV+ п + 1)! CiV — и)!
(2п + 1) (ДГ!)1
Рекуррентная формула:
/«(*) = 1, Aix) - 1 -
in +DiN- „)/,,„(*) =
= (2л + 1) (JV - 2*)/„(*) - MN + и + 1)/,,^(*). Пример 6. Аппроксимировать способом наименьших квадратов посредством многочлена третьей степени функцию / (*), заданную следующей таблицей:
к № *— 10 х ~ 2 /.W /,(S) ЛИ /.га
10 0.3162 0 1 1 1 1
12 0.2887 1 1 1/2 -1/2 -2
14 0.2673 2 1 0 -1 0
16 0.2500 3 1 -1/2 1/2 2
18 0.2357 4 1 -1 1 -1
A*) /і(*) /.(*) feix)
(Л, /.) - 5 2.5 3.5 10
if, А) 4 = 2>(д/(к + ю) 1.3579 0.09985 0.01525 0.0031
а" = Ц~Г) 0.271580 0.039940 0.0043571 0.000310
fix) ~ 0.27158 + 0.03994(3.5 — 0.25*) + 0.0043571(23.5 — 3.5*+0.125г1) + 0.00031(266 — 59.8333* + 4.375*' — 0.10417*»), /(*)~ 0.59447 - 0.043658* + 0.0019009** - 0.000032292Л
22.2«. ЭКОНОМИЗАЦИЯ РЯДОВ
Постановка задачи. Дано/(х) = ^ CmXm
и=о
JV
I отрезке - 1 < * « 1 и R Xi. Найти fix) = Y^ Ьяхт
с наименьшим возможным JViaK. чтобы Jix) — /(*) | < R.
Решение. Выразим fix) через чсбышевские члены, используя табл. 22.3:
/М - І2 W.M.
W = O
Тогда, так как |Гга(*)| < 1 (—1 < х <s 1), то fix) - ЪМх)
M-O
удовлетворяет требуемой точности, есля
У) |б™кл
«ідГ-Н
fix) удобнее всего вычислять, используя рекуррентную формулу (см. 22.7).
Пример 7. Экономизировать
Тогда
v ya va у! у5
/(*)=l+i + - + - + - + -. R = 0.05. 2 3 4 5 6
/(*) = [149?*) + 3 2Т,іх) + ЗГ,(*)] +
+ і{76Гі(д:) + И«*) + Г,(*)]. 96
fix) - — [149ВД + 32Г,(*)1 + + і PtTl(X) + lirrf*)],
|Л*)-Дх)|« - + 1 <0.05. 40 96 КОЭФФИЦИЕНТЫ УЛЬТРАСФЕРИПЕСХИХ МНОГОЧЛЕНОВ И ВЫРАЖЕНИЙ 599
Табли ца 22.1. Коэффициенты многочленов Якоби
P^ P1(Jc) = O^1 J^ ст(х - 1Г
(I-I)' (J-I)' (J-I)' (*-!)» (ж —1>< (*-!>• (r-t)«
.'v . т J 1 — -I -
l>\- Ktl 2 S(«f 1) «+ 0+2
!'¦• ' • 8 4(.+ 1), 4(.+0+3)(.+ 2) (. + ?+4,
Г,- . а- 49 Sta-! 1). 12(.+0+4)(.+2), 6(.-41+4),taf3) (.+0+4),
Г.- , л 384 16taf 1). 32(.+ 0^-5)(.+ 2), 24(.+0 + 5),(. + 3), 8(.+0+5),(.+4) (.+0+5),
Pi' 3340 32(.+1). 80(.+0+9)(.+2), 89(.+0+6),(.+3), IOtaf Jf 0),(.4), 1(4. f 0+6),(. + 5) ta+0+0).
Pi- 64(. + 1). 192ta+0 f 7)(. f 2). 240(.+0 + 7),(.+ 3), 100(.-10+7),(. + 4), 00(.+0+7),(.+5), 12(.+0+7),(. + 6) (.+0+7),
(•n).-m(m+l)<«+2) . . (и + n-I) Л",(г)-^[(«Н®-1),+ Ю(8)4(в)(х-1)'+40{8),(5)г(г-1)»+80{8Ь(4),(х- !)'+80(8)(3),(і-1) + 32(2),}
РЧ "(r)=—^ 195040.'*-1)'+475200(*-1)* | 864000(*-1)'+691200(*-1)4 23^400(*-1) ¦ 23040J
Таблица 22.2. Коэффипненты ультрасферичссккх многочленов CftriXx) и выражений хп через С^Ч*)
CfV (а) = а,' 2 с „і" хп - b;1 S dmC^{x) (а * О)
To=O я»-0
J* I' X' і" X4 Xf I>
b. 1 2d «i IWi «Ml SWi SW.
