Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
черга Um(x) ....................................................................................................€01
и = 0(1)12.
Таблица 22.6. Значения многочленов Чебышева Vn(X) .....................................601
п — 0(1)12, X = 0.2(0.2)1, 10D.
Таблица 22.7. Коэффициенты многочленов ЧебышеваСв(д:) и выражений хп через
Сш(х) ................................................................................................................602
я = 0(1) 12. 22.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
579
Таблица 22.8. Коэффициенты многочленов Чебышева Sn(x) и выражений хп через
Sm(X) ........................................................ 602
п = 0(1) 12.
Таблица 22.9. Коэффициенты многочленов Лежандра РвО) и выражений Xw через
Pm(X) ........................................................
И = 0(1) 12.
Таблица 22.10. Коэффициенты многочленов Лагерра Ln(х) и выражений хп через
Lm(X)........................................................
п = 0(1) 12.
Таблица 22.11. Значения многочленов Лагерра 7-»(х) .......................... 605
п — 0(1) 12, X = 0.5, 1, 3, 5, 10; точные или 10D. Таблица 22.12. Коэффициенты многочленов Эрмита Нп(х) и выражений хп через
IU(X)........................................................
п = 0(1)12.
Таблица 22.13. Значения многочленов Эрмита Нп(х).......................... 605
п = 0(1) 12, X = 0.5,1,3, 5,10; точные или US. Литература ...........................................-.....-................... 606
603
604
605
22.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
Система многочленов fn(x) ([/»(х)3 = и — степень многочлена) называется ортогональной на отрезке a =? х ^ b с весовой функцией Hj(X), если
12.1.1. J н'(х) Mx) Mx) dx = О
(и Ф т\ п,
¦¦о, 1, 2, ...).
Весовая функция w(x) (vv(x) S» 0) определяет каждый многочлен системы ортогональных многочленов /п(х) с точностью до постоянного мне жителя. Crc ЬР4 икания этих множителей называется с тандщтизацией.
Введем обозначения:
22.1.2. J vv(x) Jlix) dx = kn,
U(X) = knxn + k'nx«-1 + ... (в = 0, 1, 2, ...).
Ортогональные многочлены обладают целым рядом общих свойств. Наиболее важными из них являююя следующие:
Дифференциальное ураввение
22.1.3. Sz(X) + gl(x)/; + anfn = O1
где g>(x), g,(x) не зависят от rt, сп — постоянная, зависящая только от и.
Peicyppein иая формула
22.1.4. /я+1 = (ап + Xbn) fn - сjifn—it
кп
kn+ikn-ihn klhn-1
І кп+ї kn J
Формула Ридрвга
22.1.«. h - ~Vr { Ч*)№)1" },
cnw{x) ахп
где g(„r)—многочлен от х, не зависящий от п. Система
[dfa )
і — ) также состоит из ортогональных многочленов. I dx J
P^05Zz1
Рис. 22.1. Многочлены Якоби P^tl (х); «. = 1.5, ? - —0.5, п - 1(1)5. 21.2. КЛАССИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ
ЛЮ Назв аняе многочлена - ь »M Стапдарі изация h. Првметави.
22.2.1. PirflW G»(A Я, х) Якоби . j 2 (1 - XF-1X1-1 Г) кп = 1 2«+S+i Г(п+і+1)Г(п+р+1) «> -1,
22.2.2. Якоби 0 2n + a+P + l л!Г(п+«+р+1) л!Г(п + ц) Г(л + р) Г(п + р - д + 1) р -д> - 1,
(2и + р) Г2(2н + р) г > о
22.2.3. с?*>(х) Ультрасферический (Гегенба> эра) -1 I (1 (« It 0) Q11(I)= 11 CSw(I) - 1 TM = 1 "Z1-2TCn+ 2.) п!(,, + «)[Г(с)р Щ <«=0) п1 «> -1/2
22.2.4. ад) Чебышева первого рода -1 1 (1 - I«)-1'» 2 it, п=0
22.2.5. V.(x) Чебышева второго рода -1 1 (I - I2)1'2 ВД) = п+1 2
12.2.6. С„(х) перьото рода -2 1 КГ С,(2) - 2 4тг, пф 0 [ 8it, и=0
22.2.7. S„(x) Чебышева второго рода -2 2 кг S„( 2) = и + 1 7С
22.2.8. Tl(X) Смещенный Чебышева первого рода 0 I (х - х')1" K(I) - 1 L Я, Л = 0
22.2.9. Ul(X) Смещенный Чебышева второго рода 0 1 (х - X2)1'1 у;о) = и +1 ¦К 8
22.2.10. Р,(х) Лежандра сферический _j j Л.(1) = 1 2
1 2« + 1
22.2.11. КС) Смещенный Лежандра 0 j 1
1 2л +L1
22.2.12. Lift*) Обобщенный Лагерра 0 СО {• 7X1 ' ,! Г(а + в + 1) п\ а> -1
22.2.13. U(X) Лагерра 0 Со е-' и! 1
22.2.14. Нп(х) Эрмита — 00 СО г— 1. = (-1)" 4п2"п\
22.2.15. I Не„(х) Эрмита — СО 00 I е-"'12 ?. = (-1)" *І2Іп\ 22.3. ЯВНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
581 583 22. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
Рис. 22.2. Многочлены Якоби Pif-elW', я = 1(0,2)2, P = -0.5, п = 5,
Рис. 22.3. Многочлены Лкоби ?) (л). «=1.5, ? = -0.8(0.2)0, п = 5.
Явные выражения, содержащие тригонометрические функции
/„(cos Э) = omcos (л - 2т) 0
/«(cos Є) Ля Примечания
22.3.12. CJ '(cos 0) Г(й + т)Г(а + п - т) H?S0
т\п - т)> [Г(а)Г
22.3.13. P„(cos Є) J_ Hml Ґ2л - !•] 4" I n Jl n - т J
22.3.14. С"» (cos 6) = - cos и 6,
п
22.3.15. 7i(cos в) = cos л8.
22.3.16. едсо5Є) = ^"-+-УІ
8Ш O 22.5. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
22.4. ЧАСТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
583
¦МО МО) /.W лм
22.4.1. (- "'(л) ГЛ 1 і [a-? + (« + ? + 2M
22.4.2. Cg0(X) Coc # 0) (-1)*>С<«(*) ггч Ґ 0, и - 2m + 1 ( 1)-Г<« + "/2),„-2т lV Г(а) (и/2)! 1 2лх
22.4.3. (-1)"С»'(*) - (в * 0) и [ inSl , „ = 2т # 0 J т I 0, п = 2т + 1 1 2х
22.4.4. Т,(х) 1 Г(-1)™, и = 2»! 1 0, n = 2m + 1 1 X
22.4.5. и«(х) (-1)"С/„(х) и + 1 f(-l)"1, H = 2m ІО, и = 2т + 1 1 2х
