Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
22.6.4. С xY+42f і із+1'2 sin — COS — X I 2J I V X J>i"'S!(cos x) 1 0 2(1 - X3) 1 - 4ec2 ! 1 - 4?a ! 16sin!- 16 cos» і 2 +("W^r
22.6.5. Ci-1W 1 -P« + 1) X bfe + 2gi)
22.6.6. (1 - x'f-1'2 C1s-1W 1 (29.-3)* (в + 1) (я + 2a - 1)
22.6.7, (1 - Л»«+1" C<«'w I 0 ((!+*)' 2 + 4a - 4as + X2 1 - *> 4(1 - я'?
22.6.8. (sin xf ci«1 (cos X) I Q («+«)¦+ "'-*1 »in' x
22.6.9. ВД 1 - л-a — X
22.6.10. Tm(cos X) 1 0 n>
22.6.11. Vl-Xj 1-х' —Зх 1
22.6.12. ад 1 - Xs -Зх л(л + 2)
22.6.13. P,(x) 1 -Xа — 2х ф + 1)
22.6.14. Vl-X1 P,(x) 1 0 n(n +1) 1 1 - X2 (1 - x'f
22.6.15. LX" W X ее + 1 - x n
22.6.16. <r'x-*"44?> (x) X x+ 1 j « i 1 It-i---f-1-- 2 4x
22.6.17. e-o^x^VL^Xx) 1 0 2n + » + 1 l — aa 1 2x Axi 4
22.6.18. 1 0 1 — 4aa 4л + 2os + 2 - Xа -I-- 4x2
22.6.19. H,(x) 1 — 2х 2«
22.6.20. e ~''?H„(x) 1 0 2n + 1 - x2
22.6.21. He, (x) 1 —х n 588
22. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
22.7. РЕКУРРЕНТНЫЕ ФОРМУЛЫ
Рекуррентные формулы относительно степени п
Ящ fn(-і(v) = (aza + aSnx)fn(x) — avl fn iO)
U "гп
22.7.1. Й"в1(х) 2(л + 1) (л + а + ? + 1) X- (2л + « + ? + 1) («• - ?») (2B+ct+?), 2(л + Ct) (л + ?) X
X (2л + а + Р) < (2л + et + ? + 2)
22.7.2. с»(р, х) (2л + р 2\(2п+р - 1) ~[2в(в+;>) + { (р- 1)] X (2в+/>-2),х л(в + 9 - 1)(л +/)-1) X
X (2л + JJ - 2)3 X(2b+J>-1) X (n+p-q)(2n+p+l)
22.7.3. CS11(X) я + 1 0 2(в + et) л + 2а - 1
22.7.4. ад 1 0 2 1
22.7.5. №.(*) 1 0 2 1
22.7.6. Sn(X) 1 0 1 1
22.7.7. Cn(X) 1 0 1 1
22.7.8. K(X) 1 -2 4 1
22.7.9. Vn(X) 1 -2 4 1
22.7.10. Pn(X) в+ 1 0 2л+ 1 л
22.7.11. П(х) л+ 1 -2л - 1 4л + 2 л
22.7 Л 2. Xif1(X) в + 1 2л + а t- 1 -1 и + а
22.7.13. IUx) 1 0 2 2л
22.7.14. Hen(X) 1 0 1 л
Различные рекуррентные формулы Многочлены Якоби
12.7.15. (я + і + L + 1 j (1 - xf J*«+1' »(*) _
- (л + « + 1) P«* »w - (л + 1) РІ%к(х).
22.7.16. (л + J- + A + 1 j (I + x) & 0+»(x) -
= (л + p + 1) й(х) + (л + 1) ЛЙ-'і01«.
22.7.17. (I - x)P<°+1' el(x) +(1 + x)P?' s+"(x) -
= 2ІІ»'В1(х).
22.7.18. (2л + « + »(і) =
= (л + « + ?) Pf WW - (л + ?) /&»(*).
22.7.19. (2л + « + ?) /-><"' B-"(i) =
= (n + a + ?) 4»' »(je) + (»+«) Pfc181W-• 22.7.20. Pl"- f>-»(*) - J*""1. «(x) = P^\x). Уяьтрасфсрическне мног очлены
22.7.21. 2ct(l - x*f Cttil(X) =
= (2a + в - 1) CiS(Ji) - nxCtXx).
22.7.22. 2« (1 - x') Cttly(X) =
- (в + 2a)xCt\x) - (л +1) Cffi(x).
22.7.23. (л + «) C&"<x) - (« - l)[C#}(*) - 4?*)].
Многочлены Чебышева
22.7.24. 2T„(x) ВД = JW*) + TWx) (л Ї» т).
22.7.25. 2(х! - 1) V^i(x) t/„-,(x) - JWx) - JWx)
(л > ж).
22.7.26. 2Г„(х) I7„-,(x) - CV+«>-,(x) + CW-i(x)
(л > ж).
22.7.27. 2Г„(х) U„^(x) = В^нМ - IW-i(x)
(в > /в).
22.7.28. 2Тп(х) V,^(х) - Uat-I(х).
Обобщеппые многочлены Лагерра
22.7.29. L?+"(x) -
= —1(х —л ) L?>(x) + (a + я) IS(X)].
22.7.30. I?""СО - 4"\х) - 4ЙМ.
22.7.31. 4"+1)(х) - і[(в+«+1)4"'(х)-(л+1)ій(х)І.
22.7.32. ''(х) =
- -Jr- К" + DifcVx) - (л + 1 - JC)4"V>1. H т 9 22,9. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ 589
22.8. ПРОИЗВОДНЫЕ
&(¦*) -j-Mx) = siMMx) + sH/mW
fa St ft Г»
22.8.1. її- B)w (2n + а+Ш1 - x2) (l[a - ? - (2л + « + (J) x] 2(л +«)(« + p)
22.8.2. C'»>(x) I-Xs —nx и + 2a - 1
22.8.3. Tn(X) 1 - x' —их л
22.8.4. Vn(X) 1 -Xs —лх л + 1
22.8.5. Pn(X) 1 -Xа —fix .л
22.8.6. L'„"(x) X n -(л + «)
22.8.7. Hn(x) 1 0 2л
22.8.8. He,(x) I 0 л
22.9. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
ё(х, 2) = а,Mx)2°, к - Vl - 2xz + ?
/.(*> а» ik*. rt Примечания
22.9.1. Pf' й(х) д-'а - г + д)-«( 1 + 2 + ягв I z I < 1
22.9.2. С{"\х) 2"'-"Г(а+ 1/2 -H л)Г(2а) Г(а-1- 1/2) г(2« -I „) лл(1 - + л)1""" M < 1, a ^ 0
22.9.3. С'Лх) 1 И < 1, а Ф 0
22.9.4. Q01(X) 1 -In Я2 I z I < 1
22.9.5. 4"(х) Г(2«) г- г чі/а-а г"с™ ® ~ Sin в /«-!„(г sin В) X = cos 0
Г(« + 1/2) Г(2« + в)
22.9.6. ад 2 -1 < X < 1, |г[ < 1
22.9.7. Tn(X) л~'( 1 -XZ+ л)'1* -1 < X < 1, |z| < 1
22.9.8. Tn(X) 1 л I--In R' 2 Oo-Ij — 1 < X < I, И < 1
22.9.9. Tn(X) 1 1 - XI JC -1 < X < 1, І2І < 1
22.9.10. Un(X) 1 Sr3 -1 < X < 1, Iz I < 1
22.9.11. U,(х) V2 |2л + 2І 4™ I л + 1 I -І-0 - XZ + R)-1" -1 < X < 1, Izl < 1
22.9.12. Ых) 1 R-1 -1 <х< 1, Iz 1 < 1
22.9.13. Pn(X) 1 ЛІ ^cosV0(ZSine) X = cos В 590
22. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
(продолжение)
M') вя Примечания
22.9.14. S,(x) 1 (1 -XZ + г'Г1 — 2 < X < 2, |z| <1
22.9.15. li'Kx) 1 «-'»-"Чтгт) UK 1
22.9.16. «•W 1 Г(п + а + 1) (xz)-«'V JJil(XZ)1Ift]
22.9.17. Я„(х) 1 л!
22.9.18. (-1)" (2л)! es cos (2* л/z)
22.9.19. Hati(X) (-1)" (2л + 1)! z~1,3ez sin (ІХлІг)
22.10. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ Представления в виде контурных интегралов
Ш = f Ыг. *И" Ы', х) dz, 2тсі J с
где С — замкнутый контур, обходящий точку г = а в положительном направлении.
Ulfe Jt) Sp, *> • Примечания
22.10.1. Л°М(х) 1 Zs-I (1 - z)« (1 + Z)B Д- ±1 лежит вне С
(1 -х)"<1 + x)f 2(z - X) z — x
22.10.2. CirtW I Uz (1 - 2xz + za)~" Z-1 0 Оба нуля функции y(z) = \ — — 2xz + Z1 расположены вне С, « > 0
22.10.3. Г„(л) 1/2 Uz 1 -Z1 0 Оба нуля функции y(z) =1 — — 2xz + г- расположены вне С
