Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
z(l - 2xz + Z2)
22.10.4. U,(x) 1 Iz 1 0 Оба нуля функции y(z) — 1 —
z(l — 2xz -T za) — 2xz + Z2 расположены DHe С
22.10.5. Рп(х) 1 1 Iz -H-Txz + Za)-1" Z 0 Оба нуля функции y(z) = 1 — — 2xz + г2 расположены вне С
22.10.6. Ых) 1/2» Za-I Z-JT 1 z — x X
22.10.7. еЪг* Z z — x ** - z — x X Нуль расположен вне С
22.10.8. iif'W 1 1 + ^ Z 0 z=—x расположен вне С
22.10.9. Я„(г) л! Uz 0
Z 22.12. ФОРМУЛЫ СУММИРОВАНИЯ
591
Различные интегральные представления
22.10.10. CidW =
_ 2"-»'Г(л+2,0 Г + ms
л1[Д«)Р J
о
(« > 0).
22.10.11. Cftcos Є) -
„ (sin 6)1 J COS(„+«)T_ d
л ![!'(*)]' J (cos Ф - cos 0)1-"
о
(a > 0).
22.10.12. P„(cos 6) - J- ^ (cos 0 + і sin 0 cos ?)" d<f.
0
22.10.13. Wcos Є) = & t .
71 J (cos o — cos <p)>u 0
22.10.14. ?j,e)(*) = eI^l f e-';n+«/Va(2 Jtx)dt.
лі J 0
22.10.15. Hn(x) - [ e~(itn cos І2хГ - - тії dt.
22.11. ФОРМУЛА РОДРИГА
fn (X) = —l-~~f^{p(.r)(g(x)T} апр(х) dx
Среди ортогональных многочленов этой формуле удовлетворяют только многочлены, данные в следующей таблице.
АЫ
22.11.1, W W (-1)"2"л! (1 - xf (1 -I .т)В 1 - Xs
22.11.2. СІ"'(х) / Г(2а)Г(« + в+ 1/2) ' Г(ос + 1/2) Г(» + 2а) (1 - л')"'= 1 - Xі
22.11.3. Т,(х) (1-ї*) и' 1 - .1=
22.11.4, U,(X) ( ,у.,.« Цл + 3/2) (п + 1) V" (1 - х')Ч"- 1-х'
22.11.5. Pn (X) (-l)"2"nl 1 1 - Xа
22.11.6. Li" (X) л!
22.11.7. Hv(X) (-1)" е-" 1
22.11.8. Неп(х) (-!)' 1
22.12. ФОРМУЛЫ СУММИРОВАНИЯ
Формула Кристоффеля — Дарбу 22.12.1. ? -lAWA(J) =
_ кп A«W/»М — Mx) Am(Jl)
kaolin х - у
(определение к;, см. в 22.1.2).
Различные формулы суммирования (Здесь даются только некоторые из них)
22.12.2. 2 «я) = 4 П + t7WWl.
»-1 ,
22.12.3. JWW = - CWW-
22.12.4. Ctm(x) -
1 — Тт+ь(х) 2(1 - X2). 592
22. ортогональные многочлены
22.12.5. CW(*)
я»=0
* ~ Г8я+1(х)
2(1 - Xа)
22.12.6. 2 L!»"Wiffi»W = 4"et,) (* +Л
22.12.7. ^ " j |л»--(1 - (I)-^W =?і«1(щс).
22.12.8. Я„(х + J-) =
= S (I)я,;( v5x)
22.13. ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
22.13.1. 2п J (1 - у)" (1 + у? Fnt"' elW dy = о
= Р+"(0) - (1 - хГ+1 (1 + xf+1Ptth ">+1>(х).
22.13.2.
n(2« + п)
( (1 - C^ (у) dy =
2« J о
-??+"(0)-0 -^T+"2 ей »M.
22.13.3. Vjr
TJy) iy_
о--*) Vi - у
= «ад.
22.13.4. VA С = „,,ад.
J (Iі -*)
22.13.5. \ (1
2«+ 1
2.13.6. (j Pa„(cos 6) rfO -J^ J 2" j
22.13.7. ^ P„„ (cos 0) cos OdB - | 2" j + .
22.13.8. ^л>Р„Иіг-о
(-І)Т(и->./2)Г(І/2+*/2)
2Г(-Х/2)1> + 3/2 + Ї./2)
1
22.13.9. ^x>P2nlllx)dx = «
_ (-l)T(n + 1/2 - X/2) Г(1 + X/2) ~ 2Г(в + 2 + А/2)Г(1/2 - x/2)
P. > -1).
(>¦ > -2).
22.13.10.
f P Jt) A ; ) -Jx - 1
(л + 1/2) Vl+ X
¦ [Г„(х) + Г»„(х)].
' P„(0 Л
I V -' X
1
(я+1/2) Vl-X 22.13.12. ^e-'L<*\t)dt-> <гЧі?\х) -ій(х)1.
Ї7»(х) - Wx)].
22.13.
13. Г(« + ? + Л f 1) J (x - I)®-1 /"Zf1(I) л -о
— Г(а + п + 1)Гф)х"+'4«+И(х) (Re а> -I, Re ? > 0).
22.13.14. j ?,„(/) 1„(х-/)Л-о
= J im + »« А - im-i »(х) - -CmtIHi(X). О
22.13.15. J е " HJt) dt = Я„_,(0) - е-«' Я„_і(х).
[Я»+1(х) - Яяи(0)].
22.13.16. ( HJif) dt = -
J 2(и + 1)
о
22.13.17. С е aHmtfx) dt - -Jn (х! - 1)». J т I
22.13.18. ^ л
<Яг„+1(/х) Л =
* Vtc
(2m + 1)1
х(х! - 1)"
22.13.19. J e~"t"HJxt)dt = jitnXPJx).
22.13.20. J е-" [HJt)P cos (х<) А = о
- V" 2"JH Ie--ItLn Jyj- 22.16. нули
593
22.14.1. I P?' 61W I =S
^ " + q j S3 n', если g = max («, ?) S -1/2 (tt > -I, ? > -1),' \Pln' W(x')l » если q < -1/2.
x' — ближайшая к —^ точка максимума.
22.14. НЕРАВЕНСТВА 22.14.8.
(a H- ? + 1)
22.14.2. ICj4(X)I
..irr1)
l|3fV)l (—1/2 < а < 0).
х' ^ 0, если п = 2т; х' — точка максимума, ближайшая к нулю, если ч — 2т + 1.
22.14.3. ] cl4(cos Є) I < 21-"
(sin Є)" 1»
(0 < a < 1, 0 < б < я), 22.14.4. І Г„(х)1 <1 (-1 « X « 1).
dx
(-1 =S X « 1).
22.14.6. і Unix) і < п + 1 (-1 < X < ]).
22.14.7. іР„(х)| < 1 (-1 <*<!).
^^ І < - л(л + 1) (-1<*<1).
dx 2
•п
Vl-Xa
(-1 <х<1).
22.14.10. ]>Цх) - Pn^l(X) Р»+1(х) < — ¦ — Mn + 1)
22.14.11. Ла(х) - P^i(X)Pw(X) S
(-1 « X € І).
1 - Pg(x)
(2п - 1)(» + 1)
(-1 < X « 1).
22.14.12. |?.(*)| * е'Р (х Ss 0).
22.14.13. |^'(х)|< ^:+0-""
(st S О, X > 0).
22.14,4. 14^),42-?-?)]^
(-1 < а < О, X > 0).
:2.15.1. Iim [!/.(«, Hljros ^]] = !2.15.2. Iim Z.?' [і]] - х-«а /«(2 Vx).
22.14.15. j Hsm(x) 1 < e«V2,^2 _ J- J2^jJJ .
•22.14.16. ] Я2Ж+1(х)| ^ xe**? —т + 2)1 (х > 0).
(т + 1)!
22.14.17. І Нп(х) і < e*s/2/A:2ft'8 JnXi к « 1.086435. 22.15. ПРЕДЕЛЫ
22-15 4- JSi [ 4; «Т Уй] = ^sin
22.15.5. lim Р<?> » (l - ^J = Li*\x).
22.15.6. Iim C'ia) f f ) = -7 ВД «->» a'2 Way и!
Асимптотические разложения см. в [22.5], [22.17].
22.16. НУЛИ
Таблицы нулей и соответствующих весовых множителей для квадратурных формул типа Гаусса см. в гл. 25. Все нули ортогональных многочленов являются действительными, простыми и лежат внутри интервала ортогональности.
