Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
23.1.31. — С F(I) A=-A {F(x + It) + F(x)} -h J 2
- P Bs {FC'-1) (x +h)- Ff") (*)} -
И (»)!
Rn)!
+ 6ft) (S - h»x»a).
Пусть Bn(x) = Вп(х — [л]). Формула суммирования Эйле
¦\t имеет вид
— 1 ' ' , е *'•»
23.1.32. VJ ^(O + M + ah) - — I f (I) dt +
fco *..J
+ Bt(^HFM(b) - Fit-1Xa)) -
т к>
— (Др(о> - ;)/ V FTOfa + kh + OiXdt
plI lfr. J
(р < 2л, ismso)
23.2. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РИМАНА И ДРУГИЕ СУММЫ ОБРАТНЫХ СТЕПЕНЕЙ
23.2.1. CM= ? (Re j > )).
23.2.2. C(j) - П(1 - P-rT1 (Re j > 1).
P
(произведение берется по всем простым р).
«.2.3. CM= ^ +А +П
¦ras
Ik I. 2к - 1 (х — Ы)
" 11
dx
23.2.4. C(j) = -
(j Ф 1, л = 1, 2, ..., Re j > -2л). Г(| - j) f (-г)"
2та
CJh-Ti, 3 ег- 1
Контур с в формуле 23.2.4 начинается в бесконечности на положительной действительной оси, обходит начало координат в положительном направлении и возвращается к начальной точке; при этом точки ?2л/тт (я =¦- 2,..,) не должны попасть внутрь контура.
23.2.5. C(J) = -1- + V T.(J - 1)."
І - 1 ї=л л!
Тя= DmJfoaVl
»-»»lfcrf А и + 1 J
(Re j >0).
2.3.2.6. C(j) - 2'и"-1 sin (iuj/2) Г(1 - j) С(1 - j).
ч
- dx (Re J > 1).
23.2.7. C(J) = — ( *
Г(5) 3 е' - 1 о
1 _ Г Jt'-1 ^
(1-2'-<)ГИ J ff V
23.2.8. C(J) ¦
XiH
23.2.9. C(j) =
= V Ar' + (j - і,1-' - j С
i-1 J
x-M
(»=1,2,..., Re j > 0).,
23.2.10. C(j) = exP (In — 1 — y/2) j f _ j 1
2(j- 1)Г(і/2+ 1) 11I pj
произведение берется по всем нулям р функции C(j) при Re р > 0, Функция tfvj регулярна для всех значений s, за исключением і = I, где она имеет простой полюс с вычетом 1.
Частные значение in = 1, 2, ...)
23.2.11. C(O)= —1/2.
2f 3,12.. C(I) ¦= оо.
23.2.13. C(O) - - — In 2тг. ........ 2
23.2.14. С(—2л) = 0.
23.2.15. С(1 - ^ri) = -Bm/2л.
23.2.16. С(2л) = ?^- |Я„|.
2(2»)!
23.2.17. С(2л Hl) =
_ (-DtmPit)""'
\ B3n+t(x) ctg (лх) dx
2(2»+ I)! J
! О Суммы обратных степеней
23.2.18. ?(») = j?k * (л = 2, 3, ...).
A=I
23.2.19. і)(л) = ? (-1)'-1*-' = (1 - 2'-«) С(л)
»-1
in = 1, 2, ...).
23.2.20. >.(») = f*(2k + 1Г-= (1 - 2~") С(п) :
D-O
(л = 2,3 ...).23.2, ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РИМАНА
611
23.2.21. ?(n) = ? (-l)fc (Ik + 1)-я («=1,2,...).
Эти суммы могут быть вычислены с помощью многочленов Берну дли и Эйлера путем применения 23.2.16, 23.2.17 (заметим, что T1(I) = In 2) и формул
23.2.22. (1(2« + 1) = -I E2tt! (л = 0, 1, ...),
2(2»)!
23.2.23. (3(2и) =
1
(— IY1 Tz2n С
= ^ 1 У Ezn-i(x) sec (тг*) dx (и = 1,2, ...), 4(2 п- 1)1 J О
Э(2) — постоянная Каталана. Некоторые другие частные значения:
23.2.24. ?(2) = 1 + ^ + І + ...= .
23.2.25. С(4) = 1 + -1 + "Г + - = — ¦
2* 3" 90
1 1 TI3
23.2.26. т,(2) = 1 - — + --... = — .
2 3s 12
1 1 7^4
23.2.27. -г](4) = 1 - + -і. _ ... _ і—,
2' 3' 720
23.2.28. 42) - 1 +¦— + — +...=—.
3! 5 8
23.2.29. Х(4) =1 + -1. + 4-+...=-,
З4 S 96
23.2.30. ?(l) =I-1I-I-I- ... = - ,
3 5 4
23.2.31. Р(3) = 1- - + -1- ... = — •
З' 5 32Таблица 23.1. Коэффвщкиты Ьь многочленов Ьериуллй
S„(x) - J2 b^lc
A=O
п\к О 1 2 3 4 5 6 7 а 9 10 U 12 13 14
0 1
1 -4 1
2 6 - 1 1
3 О 4 -4 1
4 0 1 -2 1
S D -4 •0 -4 1
6 ¦А О -4 О 2 - 3 1
7 О 1 T 0 0 і _ 2. 2 I
8 0 -2-3 D _ JL 3 0 Ч - 4 і
9 0 -I* 0 2 0 _ iL 5 0 6 - 4 1
10 ¦л о О ъ 0 -7 0 Ii 2 - 5 • 1
11 о 1 0 о 11 0 -11 0 _ JJl 2 1
12 ~ гШ 0 S О --Ч- 0 22 0 0 11 - і 1
13 0 0 Jli э D -jR 0 JM 7 0 -1P 0 13 .Ji
14 і 0 о jIi 0 -jBl 0 JJl 0 _ iIS1 0 jI - 7 1
15 0 -н 0 0 1P- О _ А21 2 0 .215 0 _ IL 2 0 jI -H
Коэффициенты многочленов Эйлера Еп(х) = ї>' A = O
п\к о' 1 2 э 4 •ж 5 6 7 в 9 10 11 12 15 14
0 1 2 3 4 5 6 7 1 - + 0 4 о -4 о -И 1 -1 0 1 о -3 0 1 0 + О --iI 1 -2 0 S о 1 -f 0 Ji 4 1 -3 0 1 _ J. 2 1
В б 17 0 - 28 0 14 0 -4 1
9 31 —? О 0 - 63 0 21 0 9 2
10 о -1S5 0 255 0 — 126 0 30 0 -5 1
11 4S1 Q - 17Q5 0 ?605 0 - 231 D 165 0 „ Ji 2 1
12 0 2073 0 -3410 0 1683 0 - 396 0 25 0 - 6 1
13 _ 5461 2 0 26949 2 0 О 7293 0 0 _Ш 2 0 - Ai 2 1
14 0 - 39227 0 62881 0 -31031 0 7293 0 - 1001 0 91 0 -7 1
IS 929569 573405 0 943215 0 - Д55|Д.Ь 0 109395 о _ 3003 Э .155. О _ .15. ZТаблица 23.2. ЧислаЕерпуллия числа Эйлера
Bb=NlD
2 4 6 8
10 12 14
20 22 24 26 ZS
30 32 34 36 38
40 42
54 56 58
-1 1 - 1
-691 7
-3617 43667
-1 74611 8 54513 —2363 64091 85 53103 -2 37494 61029
861 58412 7601)5 -770 93210 41217 257 76В78 58367 -26315 27155 30534 77373 2 92999 39138 41559
-2 61082 71849 64491 22051 15 20097 64391 80708 02691 -278 33269 57930 10242 35023 5964 51111 59391 21632 77961 — 560 94033 63997 81768 62491 27547
49 50572 05241 07964 В2124 77525 -80116 57181 35489 95734 79249 91В53
29 14996 36348 84862 42141 8123Б 12691
-2479 39292 93132 26753 68541 57396 63224 84483 61334 88800 41862 04677 59940 36021