Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
22,4.6. Л> (х) с-imc^ 1 I^-C)' — ІО, п - 2m + 1 1 X
22.4.7. «'<*) ("Г) 1 -X + « + I
22.4.8. ад (-1)"%(х) . (2т)! , (-Irj-T" л -2т ml 0, я = 2т + 1 1 їх
22.5. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Рис. 22.5. Многочлены Гегенбауэра (ультрасферические) Ск«\х); а - 0.2(0.2)1, п = 5.
Соотношения между ортогональными многочленами одного и того же семейства
Многочлены Якоби 22.5.1. Pin*' w(*)>
ч-
+ ? +1, э +1,
X+ П
. Г(2и + я + ? 4- I)
" я'Г(и + OL + ? + 1)
22.5.2. С„(р, а, х) = "1Г(" Jffl-'. - 1)
Г(2п + /.)
(см. [22.21]).
22.5.3. F,(p, Я, х) = (-1)'' >! (см. [22.13]).
ГС?) Г(г + п)
.pjp-v.e-1)(2^-1)
Ультрасферические многочлены
22,5.4. Q01C*) = Iim - с?\х). и-.а а 584
22. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
Мпогочлеиы Чебышева
22.5.5. Tn(X) = ~ Сп(2х) - Т„' '
22.5.«. Tn(X) - U„(x) - xU„-J(x).
22.5.7. Г„(х) = xU„^(x) - Un-Ix).
22.5.8. Т,(х) = і [U„(x) - [Г„_,(Х)1.
2
22.5.9. U.(x) = Sn(2x) - U,
«m-
і
22.5.10. U,.,(x) = —?—-[xTn(x) - Tntl(X)].
1-х
22.5.11. Cn(x) = 2Г, ^J - 2П (^-) '
22.5.12. Сп(х) - S,{x) - Sn-tix).
22.5.13. S,(x) - U, - VI (i^j '
22.5.14. Tl(x) - Тп(2х -O--J с-(4л" - 2) (см. [22.22]).
22.5.15. Ul(X) = S„(4x — 2) = Un(2x - В (см. [22.22]).
Обобщенные многочлены Лагерра
22.5.16. H01(X) = Ln(x).
223.17. Um(X) - (-D™-IUMx)]-dxm
Многочлены Эрмнга
22.5.18. Hen(X) - 2-"'2Я„ j (см. [22.20])
22.5.19. Нп(х) = 2""Не,(х Jl) (см. [22.13], [22.20]).
Соотношения между ортогопалышмн многочленами разных гемейста
Многочлены Якобн
22.5.2«. «-Ч*\х) =
_ Г(2а) Г(а + я + 1/2) сы(х)
Г(2« + и)Г(а + 1/2)
22.5.21. Pf'-"2,(.v) =
_(1/2),4-,
]jx+2 1 (« + 1/2)к+і
22.5.22. li"'~v®(x) -
_(1/2)»
(« + 1/2),
- СЙ"
22.5.23. Plr1"1 -угКх) " ^T ( 2" )
22.5.24. «"'(*) = P«(x).
Ультрасферюгескис многочлены
22.5.25. Cftx)
Г(»н- n) il! 2sn -(^-1/2, -1/2) : -------- fn
]'(«)(2л)І
'>(2хг - 1) (« # 0). 22.5.26. Cf,$+1(x) =
_ Г(. + n + 1)/.12""-' ^(«-./2, Iffle^ _ 0 Г(«)(2п+1)І
(« # 0).
22.5.27. CS°(*) ¦
_ Г(а 4- 1/2) Г(2« + и) е-'РУы
'Г(2«)Г(« + В + 1/2) *
(« * 0)-
22.5.28. СЗ» (х) - - Тп(х) --
.2 Js^-Ji TfT1I2--t^x).
Г(л+ 1/2)
Многочлены Чебышева
22.5.29. Tw(X) - У2,СЛ~ !)¦
22.5.30. Vu(X)= -1^Pxa - 1).
Г(л +1/2)
22.5.31. Tn(X) = rt,l2--im(X).
Г(л + 1/2)
22.5.32. U,(x) = '"+ "l^ 4"2-ф)(х).
2Г(л + 3/2)
22.5.33. Тя(х) = - CS"(x).
2
22.5.34. U.(x) = Ci"(x).
Рис, 22.6. Многочлены Чебышева 7»(*); п - 1(1)5- 22.5. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
585
Многочлены Лежандра
22.5.35. Р„(л) - PIfm(X).
22.5.36. P,(y) = Ciln(X).
22.5.37. ti>,Wl = 1 • 3 ... (2т - 1) Cj?+"V> axm
(т < п).
Обобщенные многочлены Лагерра
22.5.38.Lt"!>W = Нг,ф).
22.5.39. 1^>\х) = H^(fx). л!2 V X
Многочлены Эрмнта
22.5.40. Jfam(X) = (-1)"2™m\L?-,l2\x').
22.5.41. Яиад(х) =- (-1 )m2'"*lm!xL^,2>(x?).
Выражение ортогональных многочленов через гинергеометричеекие функции (см. гл. 15) Mx) - dF(a, b-, с; g(x))
Кроме приводимых здесь, имеется много других представлений ортогональных многочленов через гипергеометрические функции.
Mxl a • ь с
22.5.42. Л"?>(х) (T) — И п + « + ? + 1 « + 1 1 - ж 2
22.5.43. PSkn(X) (2„+; + ?)(i-ir — и —rt — а -2л - а - |3 2 1 -л
22.5.44. ItM(X) mm — и -FI-? « + 1 х- 1 X+ 1
22.5.45. —п —Л — а ? + 1 X + 1 X - 1
22.5.46. C?>w Г(я + 2x) n І Г(2а) —я n + 2« « + 1/2 1 - ж 2
22.5.47. ад) 1 —я п 1/2 1 - і 2
22.5.48. ад*) n + 1 —и 11 + 2 3/2 1 -д: 2
22.5.49. вд 1 —п в+ 1 1 1 -1 2
22.5.50. Р.(х) —п —п -2 п 2 1 - X
22.5.51. РЛх) Ш' -я/2 1 -я 2 1/2 - л 1
22.5.52. 2«"(»!)» —п л + 1/2 1/2 хг
22.5.53. Рвп+і(*) (1,- ' л —п Ji + 3/2 3/2 X1
. 5 U4
1 4 г5
І 5 /?
\\ 2
і / у
Hf -2
-з
Рис. 22.7. Многочлены Чебышева U»(x); и = 1(1)5. 586
22. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
Выражение ортогональных многочленов через вырожденные гипергеометрическяе функции (см. гл. 13)
22.5.54. Дм(х) = I" + « + 1, х).
Выражение ортогональных многочленов через функции параболического цилиндра (см. гл. 19)
22.5.55. Я„(х) = 2'U^ ~ J • **}"
22.5.56. Нт(х)= (-1)т<^^м(—т, —, XaV
т\ I 2 J
22.5.57. gmH(x) = (-l)'»t2'"+ 1)1 2хм[—т, -,хЧ-
ml I 2 )
22.5.58. Нп(х) = 2"VtpDn(Jix) =
= - j . Jlrj-
22.5.59. Неп(х) = е""Htl(X) - e^'U^-n, - і , xj-
Выражение ортогональных многочленов через функции Лежацдра (см. гл. 8)
22.5.60. Cjj '(х) =
= П» + 1/2) Г(2« + и) Г J п !Г(2а) ' [4
(х!- D
Рис. 22,8. Многочлены Л«ж&ндра Рп(х); п = 2(1)5.
Рис. 22.9. Многочлены JIareppa Ln(x)\ п — 2(1)5.
т>яс. 22.10. Многочлены Эрмита Я»(х)/ла; п - 2(1)5. 22.6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
587
22.6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
SsW у" + SiW у' + s»W у = О
у SaOO S1(Jf) s.W
22.6.1. \х) 1 - Xs ? - a - (a + ? + 2) X Л(Л + «С + ? + 1)
22.6.2. (1 - х)" (1 + X)5 Pf111(X) 1 — X2 a - ? + (cc + ? - 2) X (n + 1) (n + a + ?)
22.6.3. (l-,)f+4'2(l ix)®+1»2 x Xiis1-wW 1 0 1 1-а' ! 1 1 - ?* 4 (1 - xf 4 (1 + х)" 2 n(n + CC+? + l) + (« + l)(? + 1)
