Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
Явные выражения, асимптотические формулы и неравенства
Обозначения:
хй1 - /и-й нуль fn(x) (xf < < ... < xg»>), e«?> = arc cos (0 < 0f> < 6<n1 < ... < < те),
ja, m — m-й положительный нуль функции Бесселя Jx(x), 0 </оС,1 </«. 2 < ... 594
22. оргоговаліньш' многочлены
22.16.1.
22.16.2.
22.16.6.
rj?- B)(c°s 6) d*\x) c'"'(COS 6) TnW c/„(x)
/¦,(cos 6)
Pn(X)
if'Gv)
1ІШ nQjji" ~ Ja, m (« > -1, ? > -1)
'-'-iTt1--; f0U)]
+ " - » x S es> T -HE- ??,?1)
W + a я + a
-*»» = COS -
Xjjf — COS
2 n + 1
1 . 4m - I
4n + 2 Sni 4n + 2
Jt ! 0(ll ')
a-A^1--W)]
xiS> -1 -
45г1
2в + 1 + Щ'
Л- r,
4n + 2 L
__Ji m-a__
12(2»H I)"
'ft
jf^ < ^ + V« + 1/4 - a2)
, = r +
fi + 2(«8 - D
4Ar0 Г ^ 48 A
±AA L g J"'
0(пл')
Оценки ошибок см. в [22.6].
22.17. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ ДИСКРЕТНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
В этом разделе рассматриваются многочлены fnU), условие ортогональности которых задается с помощью скалярного произведения
22.17,1. (/„, /,„) S w4*0/»(*i)/»(*i).
Xi— целые числа, принадлежащие отрезку а € xi < b, и №*(дч)— положительная функция, причем сумма S w*C*»)
конечна. Условием ортогональности многочлен /п(х) опре-деляегся с точностью до постоянного множителя, который можно получить, например, из следующего явного представления (аналог формулы Po драга):
22.17.2. Mx) = -1— Д>*(дг) g(x, я)], где g{x, п)
rnW^C-Y)
= ?'(*) g(x — I) ••• 8І.Х — K + 1) И g(x) — многочлен ОТ X, не зависящий от я. 22.18. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ И РАСШИРЕНИЕ ТАБЛИЦ
595
Название многочлена ¦ ь »4») Гл ?(*. и) Прімечання
Чебышева о JV-I 1 1III' от
Кравнука о N (-1)" и! q"x< р, q > 0; p +
(х-п) 1
Шарлье о со ('-"и-х! (-IfVAI х\ 77- ,1)! а > 0
Майкснера о OO с' Г № + х) С х\
Г (Ь)х! (х-п)! Ь > 0, 0 < с < 1
Гака о СО Г(» Г(с і- т) ГМ 4 л) и! ІІДІ -г х)
х!Г(Ь -H х)Г(с)Г(<і) (х - п)'.Г(Ь + х-п)
Более полное изложение свойств этих многочленов см. в [22 5], [22.17].
ПРИМЕРЫ
22.18. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ И РАСШИРЕНИЕ ТАБЛИЦ
Вычисление ортогонального многочлена, коэффициенты которого заданы численно.
Пример 1. Вычислить ?,?(1.5) и его пзраую и вторую производные, используя табл. 22.10 и схему Горнера.
1 -36 450 -2400 5400 -4320 720
X - 1.5 1.5 -51.75 597.375 -2703.9375 4044.09375 -413.859375
1 -34.5 398.25 -1802.625 2696 0625 - 275.90625 306.140625
1.5 1.5 -49.5 523.125 -1919.25 1165.21875 U _3_06,140625 ^0 4251953 720
1 -33.0 348.75 -1279.500 776.8125 889.3125
1.5 1.5 -47.25 452.250 -1240.875 L'. 889'3125 -1.23515 625 720
1 -31.5 301.30 - 827.250 - 464.0625 К „ [-464.06251 720 = -1.28906 25
Вычисление ортогонального многочлена из его явного представленні, когда численные значения коэффициентов ие даны. Если надо вычислить отдельное значение ортогонального многочлена /»(*), используем соответств>юшее явное выражение, записав его в виде
/«(*) *= dn(x)ao(x).
Причем O0 находим по рекуррентной формуле
вт-iU) = 1 — —fix) ат(л) (го = и, п - 1, 2, 1, ап(х) = 1).
Cm
dji(x) bm, cm, f(x) для многочленов этой главы приведены в следующей таблице:
38 * 596
22. ортогональные многочлены
<М*> Ы Ся /М
(Г) (л - M + 1) (сс + ? + л + т) 2т(сс ;- т) 1 -X
kS'! и! 2(л - m + 1) (а + л + от - 1) т(1т — 1) Xs
2(л — m + 1) (а + л + /л) ш(2т + 1) Xa
Tm ^SJHl U» (-і)" (-I)" (2л + 1)х (-1)" (-1)"2(,!+ 1)х 2(л - лі + 1) (л + т - 1) 2(л - т + 1) (л + т) 2(л — лї + 1) (л + Bi) 2(л - т + 1) (л + m + I) (я - Bi + 1) (2в + 2m - 1) т(2т — 1) т(2т + 1) /в(2т — 1) т(2т + 1) лі(2лї — 1) X» ХВ Xa Xs X8
tf Г: ')(„+,), (в - т + 1) (2л + 2m + 1) т(2т + 1) Xs
4°» ("Г) ' л — т + 1 т(а + т) X
НЩ ( 1)П (2л)! л! 2(л - т + 1) иі(2ві - 1) Xі
( 1Г<2"+,)!2х л! 2(и - т + 1) т(2т + 1) х>
Пример 2. Вычислить ръп. з/ы (2). Здесь aa = f8'5 ] = 3.33847, /(2) --1.
т » 7 б 5 4 3 2 I 0
Hrn 1 1.132353 1.366667 1.841026 3.008392 6.849651 26.44156 223.1091 6545.533
Ьп IS 34 48 60 70 78 84 88 90
Cm 1S6 IOS 78 55 36 21 10 3 0
pa/a, s/s) (j) = dao0(2) = (3.33847) (6545.533) = 21 852.07.
Вычисление ортогональных многочленов с помощью рекуррентных формул.
Пример 3. Вычислить CjiiriI (2.5) для п = 2,3,4, 5,6. Из табл. 22.2 находим значения С0п/4> = 1, С^1/4> =
= 1.25. Согласно 22.7 рекуррентное соотношение в данном случае имеет вид
С<&>(2.5) » [5(и + 1/4) ?^'(2.5) -
- (я ~ 1/2) ОД4>(2.5)]/(п + 1).
п 2 3 4 5 б
С«'"( 2.5) 3.65625 13.08594 50.87648 207.0649 867.7516
Для контроля можно вычислить С21М>(2.5) методом примера 2. 22,19. ПРИБЛИЖЕНИЯ ПО МЕТОДУ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ Изменение интервала ортогональности
597
В некоторых приложениях более удобно использовать многочлены, ортогональные на отрезке [1]. Эти многочлены можно получить из многочленов, данных в этой главе, с помощью подстановки х — 2х — 1. Коэффициенты нового многочлена могут быть получены из коэффициентов старого с помощью следующей рекуррентной схемы (при условии, чго стандартизация не изменяется). Пусть
Мх) = 2 amxw,
