Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
З Ug
18 9 4 g - ^1"' ~ т + , g - -Кібт8 - 16т + 1) К'(т)
,<,„, 4(т — 2) (2т — 1) (т + 1) Кй(т) 8(2т - 1) (32т' - 32»і - 1) К'(т)
1В.У.З. g3 =--. gВ = -
27 (оя 27и|
!»Ой д _ 16т"(т - 1 ? л _ -256(т - т=) К"(т) 18.1&. СВЯЗЬ С ТЭТА-ФУНКЦИЯМИ
461
Д >0
18.9.7. ~ !К'(т)" .
к(т)
18.9.8. to = KimMe1 - є,)«,
18.9.9. m - (es - e,)l (? - е3),
18.9.10. (О < т е, 1/2, так как g, > 0)
18.9.11. P(Z) - с, + (? - ег)! sn! (z* I т),
, _ iK'jm) ' Mm) о>а - К(т)1Щ'2. 1 Зеа
9(z) -?+ И, '+"-Cl").
1 — сп (г' \ т)
18.9.12. ?'(z)= -2(e1-et?'*ci1(z>\m)in(z'\m)lsif<.z»\m), 9'(z)-где z* = (? - е,)"' Z,
-4flj" sn(z'|m)dn(z'|m) [1 - cn (Z' I т)Т
где Z' = 2zHl".
18.9.13. т, = «ы) - [3E(m) + (т - TtKim)),
% - ?(<•>.) = [6Е(т) + (4т - 5) JT(W)I 3<оа
18.9.14. Tj - «¦»') = ¦
' У! '
Ia = Цы,) = -
K(Hi)1 К'(т) — A(1 — т), Е(т) — полные эллиптические интегралы, см. гл. 17?
18.10. СВЯЗЬ С ТЭТА-ФУНКЦИЯМИ
Формальное определение четырех тэта-функций дано с помощью рядов 16.27.1 — 16.27.4, которые сходятся для. всех комплексных z и всех q, определенных ниже. (Некоторые авторы вместо независимой переменной Z используют 7ГГ.) Эти функция зависят от z и параметра q, который в записи обычно опускается. Заметим, что
Д > 0
18.10.1. т =¦ ш'/ы,
18.10.2. q = е"1* = е-*к''к,
18.10.3. q — действительное, и так как ?, Ss 0 (I a' I S и), то
0 < q ^ е~п,
18.10.4. (v - Ttz/2to),
18.10.5. ад -.,+ JL гда^м?
4«>я Le-^(O) в,w J U - 1, 2, 3),
18.10 6 3"(z) = - ^")^(^.(^1(0), 4«,» S4(O) S3(O) S1(O) »Kv) '
18.10.7. C(z) - + .
(і) 2.1.1-'! Il')
»1(0) = Sa(O) S3(O) S1(O), где (0) = 9, (0, q).
Д < 0
Ta = ti)a/2tua.
q = iV/j — iel~~ q — чисто мнимое, и так как I7s S 0 (I oil 1?,), то 0 <q « е™'2. (v = лг/2б)а).
я» Г SJ(O) S3(T) I2
- е, +
4о>1
I-Sj(O)S3(T) j2
[ S1(O) S1(V) J
3(')»з(>) S1(V) S;'(0) _ 4о| ад) S3(O) »до) e,s(v) '
C(z) .
IgZ__r.91(v)
210^1(^)
18.10.8.
„(г) = ^Lexp Ml
ти I. 2Ш ) SJ(O)
>.(v)
I »№) '
18.10.9. 120,? - -2ISJ(O) + Sj(O)I.
18.10.10. 12<Aa = "'[SJ(O) - SJ(O)],
,(Z)=^expf ^Ul!
UuaJsiI
12ajf, = rf[SJ(0) - SJ(O)].
12a,',., _ .«О) + SJ(O)]. 462
18. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕРПГГРАССА
А > О Д < О
18.10.11. 12сЛ, = -JtWO) + «&<>)].
12o>|cs = -jt![»S(0) + в«ОД.
18.10.12. (е, - е,)1« => -Це, - с*)1" = — Sf(O), (е, - е,)1" = Це, - C1)1" = —«ДОХ
2oj 2со3
18.10.13. (? - с,)1" - -Це, - е,)"а - —4(0), (е, - е,)>" = Це, - г,)1",= — »>(0).
2 Oj 2oja
2со
18.10.14. (C1 - є,)1'' =¦ -ife - d)1" =
18.10.15. g, = j ^j4 [««0) + »1(0) + »{(О)),
18.10.16. g, = 4e1e2ej,
18.10.17. Д1" = — ОДО),
4oj8
»5(0). (? - El)1" = -Неї - егі1" '
18.10.18. Vl s C(oj) = -
18.10.19. V a C(oj') -
it'»;"(o)
12OJ»;(0)
if Jt у
1 I 2b>a )
2 ы3
ЩО).
№) + ^I(O) + ?f(Q)].
83 - 4еіейег.
(-Д)1'4= —^iaCO) е-іп'\ 4ю|
HJ1 = = -
яЧ^'ЧО)
'І2 = =
?]8fug — кі
W2
Разложения в ряд
18.10.20. S1(O) = 0.
18.10.21. S2(O) - W + g1-8 -h g3-3 + з3"4 + ...
... -I- q*<aW +
18.10.22. Ss(O) =1 + 2[q + q* + q9 + ... + + ...].
18.10.23. S1(O) = 1 + 2[-q + q* - q8 +...
...+ (-l)Y1 + •••]•
Достижимая точность
Д > О
Заметим:
Ъ0) >0 0'== 2, 3, 4).
2 члена лают ао крайней мере 5S;
3 члепа дают по крайней мере IIS;
4 члена лают по крайней мере 21S.
Д <0
Заметим:
^2(O) ^efn'8, А > 0; Re frs(0)> OjS4(O) =«i(O).
2 члена дают по крайней мере 3S;
3 члена дают по крайней мере 5S;
4 члена дают по крайней мере 10S.
18.11. ВЫРАЖЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ЧЕРЕЗ И 5"
Если /(г) — какая-либо эллиптическая функция и 1J1(Z) имеет те же самые периоды, то можно написать
18.11.1. /(Z) - -L [/(г) +/(-Z)] +
+ J №)-/(-')} (S>'(z)n?'(z).
Оба выражения в квадратных скобках являются четными эллиптическими функциями. Выразим теперь четную эллиптическую функцию g(z) (порядка 2к) через Вследствие четности неприводимое мпожество нулей будет
состоять из ai(i = 1,2,к) и множества точек, конгруэнтных —aid —1,2,.,., /с); соответственно для полюсов будем рассматривать точки bt (і — 1,2,к). Тогда
18.11.2. ,(z)-^nl ЩїЬЗа)},
где Л — постоянная.
Если ка.сая-ыибудь из точек, а% или Ъи конгруэнтна началу координат, то соответствующий множитель в произведении опускается. Множители, соответствующие кратным полюсам (нулям), повторяются в соответствии с их кратностью.
18.12. СЛУЧАЙ А = 0 (с > 0)
18.12.1. Sa > О, g, < 0 (е, - C1 = с, е, = -2с).
18.12.2. H1 = Н,- О, Я, - Зс.
18.12.3. 5>(г; 12cs, -8са) = с + Зс {sh [(Зс)1" zir".
18.12.4. C(z; 12с2, -8с") = -cz + (Зс)1" cth [(Зс)"' z],
18.12.5. o(z; 12са, -8с") = (Зс)-1" sh [(Зс)1" z] 18.13. ЭКВИАНГАРМОНИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ
18.12.6. и - 00, о>' -= (12с)-1« гП.
18.12.7. г, = С(о>) = -оо.
18.12.8. ч' - йсо') - -сь>'.
18.12.9. ?=. 1, га =¦ I.
18.12.10. c(oi) = 0.
......... 2caV"/"
18.12.11. o(to')=--
TC
18.12.12. о(о),) = 0.
