Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
Для 'У, X, — в окрестности нуля используются ряды Лорана (18.5.1, 18.5.5; таблица коэффициентов ряда Лорана, см. стр. 448). Если \z \ < 1, то четыре члена ряда дают по крайней мере IOS для У и 11S для С; пять членов ряда — по крайней мере 13S для У и 14S для В других областях для получения У(х + iy) и ^(х + iy) предварительно вычисляются У(х), У'(х) и ?(*) с помощью аппроксимаций многочленами (18.13.67—18.13.69), если достаточно семи-восьми значащих цифр, а также У{іу), 'У'Oy) и ?(//) по рядам Лорана. Затем используются соответствующие формулы сложения (18.4.1, 18.4.3).
Дпя У' — в окрестности нуля используется ряд Лорана (18.5.4). Если j zj < 1, то четыре члена ряда дают по крайней мере 8S, пять членов ряда — по крайней мере IIS. В других областях следует поступать, как в случае У и Z,, или использовать формулу У'2 = 4У3 — 1, где Im У > 0.
(Ь) Діно У{У, о], соответствующее точке в фунда-мзнтальном треугольнике. Вычислить z с большей точностью, чем это можно сделать графически.
Любой из обращенных рядов (18.13.39 и далее) дает лишь несколько значащих цифр. Исключение составляет малая окрестность точки разложения. Для получения большей точности следует использовать обратную интерполяцию.
Пример 3. Діно отношение периодов а. Найти параметры т Kq (см. гл. 16). Как в случае Д > 0, так и в случае Д<0 отношение периодов равно К'(т)/К(т) (см. 18.9). Так как К'IK дано, то при 0.3 < К'!К € 3 для нахождения т используется табл. 17.3; если К'IK < 0.3 или К'ІК > 3, то используется метод примера 6 гл. 17.
Другой мзтод состоит в использовании табл. 18.3 для получения необходимых промежуточных значений (формула 18.2 44) с последующими вычислениями по формулам
т — (еа — е8)/(еі — е3) в случае Д > 0, т '= ~ — 3<?а/4#а в случае Д < 0.
Как в случае Д > 0, так и в случае Д < 0 отношение периодов определяет показательную функцию для q(q — e , если Д > 0, и q = іе~г~а'2, если Д < 0). Следовательно, по табл. 4.16 (е~пх, X = 0(0.01)1) получим необходимые результаты (иногда нужно выполнить умножение, как,
- 4.727t е / — 0.72«\ч
например, е — (е г (е )).
Определение значений в полупериодах, инвариантов и связанпых значений по данным периодам (табл. 18.3)
Д>0
Даны о и «>'; находим ta'fm и входим в табл, 18.3 (сгр. 439). Чтобы найти искомые значения, полученные и] таблицы рпультаты умножаем на соответствующие степггга со (см. сноску в табл. 18.3).
Пример 4.
Даны Oi — 10, w' = 11 і; найти ?(, н Д.
Д<0
Даны to2 и ь>'2; находим UzIia2 и входим в табл. 18.3 (стр. 491). Чтобы найти искомые значения, полученные из таблицы результаты умножаем на соответствующие степени Co2 (см. сноску в табл. 18.3).
Пример 4.
Даны to2 = 10, и2 = Iii; найти ей Si и Д. ПРИМЕРЫ
475
Здесь tu'jm =11, так что непосредственная выборка из табл. 18.3 дает
Ci(I) = 1.6843 041,
Cs(I) = -0 2166 258(= -еи - Cs),
end) = -1.4676 783,
Ы1) = 1Q.0757 7364,
g„(l) = 2.1420 1000.
А > 0
Умножая на соответствующие степени ы = 10, окончательно найдем
Cl = 0.01684 3041,
с, = -0.00216 6258,
Cs - -0 01467 6783,
. ft = 1.0075 77364-IO"3,
g3 - 2.1420 1000- 10-".
Следовательно,
Д = 8.9902 3191- Ю-1». Д > 0
Пример 5.
Даны 11 10, и' = 55/; найти
1, Ч', «(«)¦ "(<•>').
O(W2).
Формируя to'lta = 5.5 и входя в табл. 18.3 найдем табличные значения
тj — 0.82246704, ст(1) = 0.96045 40. Д >0
Используя соотношение Лежандра (см. сноску в табл. 18 3), по найденному табличному значению т], получим
T1' _ - — = 2.9527 723;, 2
Так как интерполяция в табл. 18.3 для а(сз') и ст(о>2) затруднена, то следует использовать формулы 18.3 15— 18 3 17 совместно с формулами 18 3.4—18 З.б. Значения ,е., g3 и c1 можно непосредственно выписать из таблиц с 8S, ег с 5S.
g2 = 8.1174 243, g3 - 4.4508 759, C1 - 1.6449 341, C8 = -0.82247. Используя 18,3.6, найдем
H3 = 0.00174 69, Ht = 0.00174 69г.
Здесь о)2/«оа ----1.1, так что непосредственная выборка из табл. 18.3 дает
C1(I) = -0.2166 2576 + 3.0842 589І,
е„(1) = 0.4332 5152 = -2 Re (C1),
cd) - ад,
JTs(I) = -37.4874 912, ?,(>) = 16.5668 099.
Д < 0 '
Умножая на соответствующие степени toB — Ю, окончательно найдем
C1 = -0.00216 62576 + 0 03084 2589/,
C2 = 0.00433 25152,
Cs — C1,
ga = -3.7487 4912- 10"', g3 = 1.6566 8099- КГ*. Следовательно,
Д = -6.0092 019- IO-8. Д <0
Пример 5.
Даны «>2 = 1000, »; = 1004/1 найти vJ2, І2, о(ыа), о(с>У, а(о/).
При (а'я/коа — 1 004 интерполяцией по четырем точкам в табл 18 3 получим
% = 1.5626 756,
TJa = -1.5726 664г.
Д < 0
о(а2) = 1.1805 028, o(o>J) = 1.1901 52t, о(ео') = 0.4750 84 + 0.4767 17/.
Умножая полученные результаты на соответствующие степени (I)2, найдем
Ч2 = 0.00156 26756,
ЧІ = -0.00157 26664/,
O(Oi2) 1180.5028,
о(о>й = 1190.152/,
о(со') - 475.084 + 476.717t. 476
18. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕРПГГРАССА
Продолжение примера 5 Д>0 Д<0
Применяя формулы 18.3.15—18.3.17, получим
o(to')/i = 0.0071 177, о(«,) = -0.002016 - 0.0105 51. Умножая все вышзнайценные значения на соответствующие степени to, определим
