Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
T1 - 0.08224 6704, о(со') - 0.07117 7/,
Tt' = 0.29527 723i, о(со) = 9.60454 0,
о(И!) = -0.02016 - 0.10551.
Определение периодов по заданным инвариантам (табл. 18.1)
Даны ga > 0 и gs>0 такие, что Д = gf — Ilgl > О (если ?3 = 0, і го'; — Oi1 то см. лемнискатный случай); по ним вычисляется
г, - г„г;гш.
Из табл. 18.1 находим
а затем со и со'.
Пример 6. Даны S2 = 10, g3 ^ 2; найти t.j и to'. При
Даны Js и Js >0 такие, что Д = g| — < 0 (если Sa = 0, І to2| = W2, то см. псевдолемнискатный случай); по ним вычисляется
Sa - gig?".
Д < О
Из табл. 18.1 находим
"!Ss" coJsa".
а затем со2 и cog.
Пример 6.
Даны гз - -10, г3 - 2;
найти O2 и Co2. Прн
їг = МГї"3 = 6.2996 05249
Ь = gigГ"3 =
-10/1.5874 0105 = -6.2996 053
из табл. 18.1 получим
torf" - 1-1267 806, <о'й" - 1.2324 295/.
из табл. 18.1 получим
usSa/s - 1.5741 349, <"гїа'" = 1.7124 396/.
Следовательно,
со = 1.003847, to' = 1.0979701.
Пример 7.
Даны g2 = 8, Sa = 4I
Следовательно,
Oij = 1.40239 48, toi - 1.52561 02i.
Пример 7.
Даны g, - 7, Sa ¦= 6;
Д > 0
найти со и со'. При
а - gig?" = 3.1748 02104
Д < 0
найти со2 и с.>м При
Sa - SnSF3'? = 7/3.3019 2725 = 2.119974
из табл. 18.1 получим
Gisl'" = 1.2718 310, CO 'sa" - 1.8702 425г.
из табл. 18.1 получим
UlsgI" _ 1.3423 442,
"И" - ЗЛ441 141і-
Следовательно,
<о = 1.0094 53, со' =. 1.4844 13і.
Следовательно,
со2 = 0.99579 976, toj - 2.33241 83/. ПРИМЕРЫ
477
Вычисление 9,9' или Z, при заданном z и произвольных g%, ga
(или произвольных периодах, по которым можно найти ^2 и Яя> периоды должны быть известны по крайней мере приближенно)
Сначала задачу сводим (если необходимо) к случаю, когда тотка z лежит в фундаментальном прямоугольнике» используя соответствующие формулы ИЗ 18.2.
Первый метод (с заданной точностью). Если х и у «млн» (точка z находится в дважды заштрихованной области), то непосредственно используется ряд Лорана. Если х или у «велики», то используется ряд Лорана ПО X я по у с последующим применением формул сложения (для 9' предварительно вычисляется 9, а затем используется формула 9'% — 49а — gs9 — см. 18,8).
Д > О
Второй метод (только для 9 и 9"). Вычисляем єі(і = 1, 2,3) (если заданы только g2 и gs, то используем табл. 18.1 для получения периодов, а затем табл. 18.3 для нахождения є і', если также даны периоды, то табл. 18.3 используется непосредственно). В любом случае вычисляется
т = (ег - е3Же! - «О;
отсюда функции Якоби
sn (г* I т), сп (г* [ т), dn (z* \ т)
по формулам из 16.4 и 16.21 и 9 или 9' из 18.9.11, 18.9.12.
Третий метод (точность лимитируется способом получения периодов).
Получаем периоды, га отношение а л q = е~па. Отсюда находим St(O) (/-2, 3,4) по рядам 18.10.21-18.10.23.
д > о
Вычисляем соответствующие 9 функции при Z = X и 2 = iy, а затем 9(х\ 9'(х) я ?(.*•), 9(iy\ 9'(iy) и ЦіуУ и применяем теоремы сложения (если X или у «малы», то можно использовать непосредственно ряды Лорана). Пример 8.
Даны г - 0.07 + 0.1/,
St = 10, gu - 2;
найти 9.
Непосредственно используем ряд Лорана при Д>0
C2 = 0.5
Cs = 0.07142 85714 C4 - 0.08333 33333 C6 = 0.0097402597 Z-2 = -22.97193 820 - 63.06022.25і + C2Z3 = -0.00255 000 + 0.00700 OOi + C3Z4 = -0.00001 214 - 0.0000 102/ + CiZ0 = +0.00000 024 - 0.00000 Oli
1
Рис. 18.16.
Д < О
Второй метод (только для 9 и 9'). Вычисляем е2 и H2 (если заданы только g2 и то используем іабл. 18.1 для получения периодов, а затем табл. 18.3 для нахождения е2; если также даны периоды, то табл. 18.3 используется непосредственно).
В любом случае вычисляется
• 3«?а№;
ад =
-22.97450 010 - 63.05323 28/
отсюда функции Якоби
sn (z' І тгі), cn(z'lw), dn (г' і /n)
по формулам из 16.4 и 16.21 и 9 или 9' из 18.9.11, 18.9.12.
Третий метод (точность лимитируется так же, как и в случае Д > 0). Получаем периоды, их отношение а и qt = ег~а,г.
Далее поступаем, как и в случае Д > 0, используя соответствующие формулы.
Д < в
Пример 8. Даны Z = 0.1 + 0.03/,
Ю, gt « 2;
найти 9.
Непосредственно используем ряд Лорана при Д <0 C2 - —0.5 C3 = 0.07142 85714 Ci = 0.80333 33333
Z-2 = 76.59287 938 - 50.50079 960/ + C2S3 = -0.00455 000 - 0.00300 000/ + CaZ* = +0.00000 334 + 0.00Q0Q 780/ + CiZe = - 0.00000 002 + 0.00000 011/
9(z) = 76.58833 270 - 50.50379 169І 478
18. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕРПГГРАССА
Д >0
Пример 9.
Даны Z = 15 + 73/, gs — S,g3 = 4; найти 9, Из примера 7 берем
O = 1.009453,
со' = 1.4S441 Зі.
По табл. 18.3 ^i= 1.61803 37, «3 = -0.99999 96, откуда т = = 0.14589 79.
Используя 18.2.18 при M — 7, N=24, найдем 9(15 + + 730 — 340.867658 + 1.748176/).
Так как z лежит в R2i то, применяя соотношение 18.2.31, получим 9(15 + 73/) = 9(0.867658 + 1.22065/).
При z* = 1.40390 + 1.97505/ из 16.4 найдем sn (z*\m) = - 2.46550 + 1.96527/.
Используя 18.9.11, окончательно имеем 9(15 + 73/) = -0.57743 + 0.067797/.
Д <0
Пример 9.
