Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
І <й' I 2» о) при gt>0, ! <u\ (см. формулы 18.9.7 в 18.9.5).
W2 — действительное, W2 — чисто мнимое, W8 при gs & О
Фундаментальные прямоугольники
Изучение четырех функций 9, 9', ц, а можно свести к рассмотрению их поведения в фундаментальном прямоугольнике, включающем начало координат (см. 18.2).
Фундаментальный прямоугольник
есть — FPP с вершинами 4
Фундаментальный прямоугольник
имеет вершины
О, О, &>2, '
О, 6)8, Wi •
На правой границе фундаментального прямоугольника имеется точка, в которой 9=0. Обозначим эту точку через Z0. 444
18. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕРПГГРАССА
18.2. СООТНОШЕНИЯ ОДНОГОДІІОСТИ И ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ
Соотношения однородности (f # 0) Зямзглм, чго отноішняе лзриодов остается постоянным,
18.2.1. 3"(иЦа, Ко') = (jSlXzI со, »')•
18.2.2. 9(1 г] (Ol, Ко') - г"S>(z| со, и').
18.2.3. с(к| Ко, Kj') = ("1Cfzl а, а').
18.2.4. <т(гг1 (", КО = Mz; со, со').
18.2.5. й(/ш, Ко') = (-4Jifw. «')¦
18.2.6. ?j((co, Ко') = f'gа(ш. »').
18.2.7. с,((to, to,') = rtifa, со') (1 = 1, 2, 3).
18.2.8. Д(Ко, (Oi') = rl!&(oj, ш').
18.2.9. Я,(«о, (м') = I-1H,(а, со')
((= 1, 2, 3) (см. 18.3).
18.2.10. ?((10, (со') = g(o>, со ) (см. 18.10).
18.2.11. m((oj, (to') — mfco, со') (см. 18.9).
18.2.12. 9"f(z; (-?, Г«Ы = (J3>'fz; а, г„).
18.2.13. 5>((г; Hft, Hg») = »"Mi; g„ г.)-
18.2.14. «lz; rV r*gs) - Hife gt, g*)-
18.2.15. of(z; r-fi, r'js) - Mfz; ft, S>).
Случай gB < 0 Положив ( — /, из 18.2,13 получим
18.2.16. 3<i; г«, g.) = -Ші gl, -g»).
Таким образом, случай ge < 0 может быть сведен к случаю ?3 > 0.
Свойсіва периодичности и сведение к FPP (М, N — целые)
18.2.17. 9'(z + 2 Mw + 2Na') = 9'(z).
18.2.18. 5>(z + IMoi h 2No,') „ 9(z).
18.2.19. Uz 4 2 M Oi h 2A'oj') = ?(z) + IMrl + 2Ni(.
18.2.20. a(z + 2Mai + 2Noi') = = ци««»^) exp [(г + Мы + Jy0,.) (2m>1 + 2ЛГт)')], где
18.2.21. j] = Cfoj), і)' = Uoj'). Сопряженные значення
/(2) = f(z), где / — любая из четырех функций 'J1, J'', С, а.
1
Сведение к — FPP (см. ряс. 18.1) 4
(v означает комплексно сопряженное С S.) Точка Z4 находится в R1
18.2.22. 2"(z,) = -5"(2со - Z1),
18.2.23. 9'(Z1) = 9'(2а -Z1)
18.2.24. S(Z1) = -«2о. - Z1) + 2ч.
18.2.25. O(Z1) - ї(2со -Z1) exp [Zvjfz1 - о)],
Д >0
18.2.26. 9'(za) = -S"f2o), -z3),
18.2.27. J1(Z8) = ?(2соа - zs),
18.2.28. X(Z1) = -ї(2соа - z») + 2(т) + т;'),
18.2.29. cr(z,) = о(2соа - z,) exp [2(v] + r[) (z„ -
9>(zJ = _ 9'(2coa-z,).
S4zJ -S42coa-zsj
t(z4) = -?(2co2 - Z1) + 2(1) + 7)').
Cj(Z1) - - <r(2coa — Z1) exp [2(ї] 4- Tj') (Z1 — W2)]. Точка Z3 находится в Да
Д <0
9'(z3) = -9'(2ч,, - Z,). 9(z,) = S>(2o>, - z„). Cfe) = ~«2о>а - Z3) + 2(7] + і)'). «s)l, o(z8) = о(2о>а - Z3) exp [2(V) + >)') (zs - со,)].
18.2.30. 2"(za) = ?'(za-2oj'),
18.2.31. P(Za) « 5»(za-2co'),
18.2.32. C(za) - ?(?^
18.2.33. u(za) = -5(?
Точка za находится в Rs 9'Ы - 9'(zs). 9(za) - WJ-K(Z1) = «а.
2 oj') exp [2>l'(za — oj')], o(za) » 5(za).
2 со') + 2V, 18.3. ЧАСТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ
445
Сведение — FPP в фупдамет-альньш прямоугольник в случае Д < О 4
Здесь мы имеем дело со случаем, когда z находится в треугольнике A2 {следовательно, 2 со' — z находится в треугольнике Ді).
18.2.34. 9(z) - 3>(2,o' - г).
18.2.35. 9>'(z) - -S>'(2to' - г).
18.2.36. ?(2) - 2i)' - ЇРю' - г).
18.2.37. ф) = c(2to' - z) ехр [2tj'(i - »01.
Приведение к случаю, когда действительный иолуперкод равен единице (отношение периодов сохраняется) Д>0 Д<0
18.2.38. 9>'(z| ы, »') - <.>J3>'^o*1 | 1, —j , 3>'(z I to, u') = mfSS>' ^ztofi J — , —J.
18.2.39. 5>(г|ш, to') - to-'sfzto"1 I 1, —1. 9(z 1 to, to') = юї^ґгіоГ11 — . — Ї .
І «і І I toa OOa]
18.2.40. «Zl to, to')™ or1? Jzu-1 И, —J. Wzl to, to') = of? Jztor1J — . — J.
18.2.41. ct(z і to, to') = too (zto-1 1, —1 . <t(z | to, to') — (o2c | — . ''i.
V I 10 J \ " j Li2 IO3 j
18.1.42. SbUo, to') = to-'ft [l, ¦
18.2.43. Ss(to, to') = to"«gs Jl1 — J,
18.2.44. et([o, to') = t»Je, Jl, — J
(i - 1, 2, 3).
18.2.45. A(to, to') = — j .
ga(to, to') = IOf1Si I — • — I •
I w« "j J
Ss(to, и') = 10?, — . — •
\ toa to г J
c,(to. to') = ,0,?, [ — , —1 .
I toa toa J
(f - 1. 2. 3).
Д(іо, to') = toa12 Д j — . I -
ItOl toaJ
- = 1. toa toa Ua
18.3. ЧАСТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ
Значения фJHK*ний в периодах 9>, 9' в С неограничены, а с равна нулю в точках z = 2со* О — 1, 2, 3) ив точке 2coj (Д < 0). 446
18.3.1.
18.3.2.
18.3.3.
18.3.4. 18.3.3.
13. ЭЛЛИГГШЧЕСКИВ ФУНКЦИИ ВЕЙВРШТРАССА Значения функций в полупериодах
Д < О
SfuO = е, (і - 1, 2, 3). 9*(оч) = 0 (і = 1, 2, 3). 7). - «<•>() 0' = 1, 2, 3).
її = і. % = і + V. ч> = V.
н; = 2eJ + e,et.
18.3.6. Hf = (е, - г,) (е< - ее) = 2е| +S^Jt'-4Є(
(і, /. fc — 1, 2, 3, / * j, Іфк, к).
18.3.7. е% — действительные,
18.3.8. е1>й> ег> е, (равенство при ga = 0),
18.3.9. і) > 0,
18.3.10. ri'/if 0, «пи
18.3.11. |o>'|/oif 1.91014 050 (прнбши.).
