Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
ch z + IJ ^h z ch z + 1
Гиперболические функции кратных аргументов
4.5.31. sh 2 z = 2 sh z ch z ¦
1 -th2z
4.5.32. ch 2z = 2 ch2z - 1 = 2 shs Z +1 - ch'z + sh'z 2 th z
4.5.33. th 2z
1 + th2 z
4.5.34. sh 3 z = 3 sh z + 4 sbs z.
4.5.35. ch 3 z = -3 ch z + 4 chs z.
4.5.36. sh 4 z = 4 sh3 z ch z + 4 ch3 z sh z.
4.5.37. ch 4 z - ch4 z + 6 sh2 z ch2 z + sh4 z.
Произведения гиперболических CHiIJCOB в косинусов
4.5.38. 2 sh Z1 sh z2 =* ch (Z1 + z2) — cb (Z1 — z8).
4.5.39. 2 ch Z1 ch za = ch (Z1 + z3) + ch (Z1 - Z2).
4.5.40. 2 sh Z1 ch Z2 = sh (zj + z») + sh (Z1 — Zi).
Сумма и разность гиперболических функций - *
4.5.41. sh Z1+sh Z3 = 2 sh ch -
4.5.42. sh Z1 - sh za = 2 ch |Zl * sh j .
4.5.43. ch Z1 + ch za = 2 ch ) ch .
4.5.44. ch Z1 - ch zs = 2 sh y^] sh pI-T-^J.
4.5. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ (z •
4.5.48. si
4.5.45. th Z1 + th Z2 =
4.5.46. cth Z1 + cth zt =
Sh(Z1^-Z3)
ch Z1 eh Zi
sh (Z1 -f Z2)
sh Z1 sh zB.
Соотношения между квадратами гиперболических синусов и косинусов
,ch Ix + cos 2у)
4.5.59. arg th г - arctg .
V sh 2х )
4Л.60. Соотношения .между гиперболическими (или обратными гиперболическими функциями)
4.5.47. sh8 Zj — Sh2Z2 = sh(zx + Z2) sh (zx — za)
= ch2 Zi — ch2 z2.
49
1Z1 + ch8 Z2 * ch (Z1 4- Zi) ch (Z1 — z2) =
- ch2 zi 4- sh8 zt.
Действительная и миимая части гиперболических функций (z — X 4- (у)
4.5.49. sh z = sh * cos у 4- і ch х sin у.
4.5.50. ch z = ch х cos у 4-« sh х sin у.
sh 2х + і sin 2у ch 2х + cos 2у sh 2х — і sin 2у
4.5.51. th z -
4.5.52. cth z
ch 2х — cos 2у Формула Муавра
4.5.53. (ch z 4- sh z)n =а ch иг 4- sh nz. Модуль и аргумент пшерболическнх функций
4.5.54. I sh z I = (shs х + sin2 у)1'2 -¦ 1
. (ch 2х - cos 2у) I
4.5.55. arg sh z «¦ arctg (cth л: th >>).
4.5.56. [Chz|= (shs* 4- cosV* =
= ^ (ch 2x 4- cos 2/)j
4.5.57. argch z = arctg (th x tg j>). fch 2x — cos 2/t1/2
4.5.58.
i-i-g
shx-e thx cosech X а sech X = а cth X = а
sh je а (о2 - I)1« а(1 - а'Г'" а-1 а-'(1 - а3)1'2 (а2 - I)"1'3
ch X (1 + я2)"= а (1 - а3)"1'1 a-'Cl + а3)"2 а-1 ф' - I)-1'3
th * а(1 + О3)-1'" а-'(а> - I)1'2 а (1 + а2)-"3 (1 - а2)1'3 а-1
cosech X а1 (a3 - I)-1'3 д-ЦІ - а2)1'3 а о(1 - а2)-1'2 (а2 - I)1'3
sech X (1 + а2)-"? а"1 (1 - а2)1'3 а(1 + а3)"1'3 а а"V - I)1'2
cthx a Hsf + I)1'3 B(O2-I)-1'3 а"1 (1 H- а2)"3 (1 - о2)-1'2 а
Например, если sh x — a, TO Cth x = а '(o! -f- O1f21 Arsech а = Aicth (1 - a2)-1".
4.5.61. Частные значения гиперболических функций
• о It 2 Irt 2 „
sh z О і О —і да
ch г О -1 О OO
th z О OO / О -OOf 1
cosech г со —І Oo J О
sech z OO -1 OO О
cth z со О OO О 1
Разложении в степеиной рнд
Z3 Z5 Z7
4.5.62. sh z - г H---1---1---(• ... (|z| <со).
3! 5! 7!
4.5.63. ch z - 1 + - + - + - + ... (I zl < со).
2! 41 61
4.5.64. th г - Z - — + — Z5 - — г' + ...
3 15 315
+ fuix").
(2«)1 . I г)
4 — под ред. В. А Диткина, Л. II. Кармазином 50
4. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ
4.5.65. cosech s •
Z 6 360 15120
(2л) I
4.5.66. sech Z=I ~ І + - z4- — г" + ...
2 24 720
(2»)1 I 2 J
1 z Z3 2
4.5.67. cth г =.- + -- - + — г5 - ... z 3 45 945
„ф (I г) <л).
(2 л)!
Впв En — числа Бернулли и Эйлера соответственно (см. гл. 23).
Разложения в бесконечные произведения 4.5.68. sh г .
4z!
4.5.69. ch z.
¦ пГ> +
fe=i L
(2? - 1)а я2 J
Разложение в непрерывную дробь г Zs г" г"
4.5.70. th Z- — —--~--" + .,
1+ 3+ 5+7+
[z * ^iinraj-
Производные
4.5.71. —— sh z в ch z. dz
4.5.72. — ch z — sh г. </z
4.5.73. — thz- sectfz. dz
4.5.74. — cosech z dz
4.5.75. — sech г dz
— cosech г cth z. - sech z th z.
4.5.76. — cth z =¦ — cosech2 z. dz
Неопределенные интегралы
4.5.77. J sh z dz — ch z.
4.5.78. J ch z </z - sh z.
4.5.79. jth zdz-In chz.
4.5.80. ( cosech z dz «= In th — ¦
J 2
4.5.81. ^ sech z dm arctgCsh z).
4.5.82. J cth z dz =¦ In sh z.
4.5.83. J z* sh z я!г = z» ch z — л ^ z»-1 ch Z ifz,
4.5.84. ^ z" ch z dz -= z* sh z — и ^ z»_1 sh z (fz.
4.5.85. C sh" z ch» z dz _ —?— sh™+> z ch«-1 z +
J m + n
+ --- C sh™ Z ch"-s Z dz - —!— Sh"-1 z ch«3 z -
m + nj m+ n
m + n dz
j sh*»-s z ch" z dz (m + n Ф 0). -1
I shm z ch» z (m - 1) Shm-1 z ch»-1 z » + «- !( dz
Shm-* z ch" z +
H-2f
1-1 J
(m »6 1),
sh™ z ch» z (и — 1) sh™"1 z ch" z m + n — 2
Ii-H-Zf 1 J
sh™ z ch«-8 z
(» I» 1).
4.5.87. ^th" zrfz=.
4.5.88. ^ cth»zdz-
Другие интегралы, содержащие гиперболические функции, см. вигд. 5 и 7.
- + I th»~a zdz (пї 1).
L + I cth •-'zdz (и/І).
4.6. ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ (z = * + г» Определения
4.6.1. arsh z =
Jd+ I2)1" о
Ж
dt
"J*
- I)1'»
4.6.3. arth г
= С—
Jl-*=
Пути интегрирования не должны пересекать следующие лиши разреза:
в 4.6.1 — мнимую ось от —»ос до —/ н от +/ до -f- /оэ; в 4.6.2 — действительную ось от — оо до +1« 4.6. OBРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ff X+ If)
