Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
J t а
О
(а> О, Ь — действительное).
я-
- ."(l-cosK) „.1,4t +
4- Ei(o) + Re + to) (а > О, Ъ — действительное).
e~a,(l — cos Ы)
I
H1+?-
- E1(O) + Ее EiSf J + /6) (о > О, І — действительное).
J 1 dt - E1(Z) ?- In z ф у.
о
я
EiM-Inx-Y (х>0).
о
С ""
J + Xa'
Г xg" J О* + А
(.'.V — — а — (х) -
" 2а
— — ix)] + const.
--а—ix) + еаЕЛа — ix)1 + const.
2
) о* + x" 1
5.1.45.
5.1.46.
5.1.47.
5.1.48. M
Re (е^Е^—х + /а)) + const (а > 0). а
С Х€" dx - - !!?(*"??-* + to)) + const J if + xa
(а > 0).
Связь с неполной гамма-функцией (см. 6.5)
EJiz) - г""1 Г(1 - л, z). «»(г) = jr" 'Г(и + 1, z). ?„(z) = г-»-ЧГ(» + 1, -г) - Г(л + 1, г)].
Связь со сферическими функциями Бееееля (см. 10.2)
«.И k^- Wz> = ^T '*»(z)-- ]/^W*). Ш - - |/у/.«(г).
Теоретико-числовое применение И(х)
Предполагается справедливость гииотезы Римана о том, что все комплексные корни C(z) имеют действительную часть, равную половине.
5.1.50. 1і(х) — 7ї(х) = 0(л/х1 п х) (х оо), 7t(x) означает число простых чисел, не превосходящих Л",
150
50
Ii(X)
9 WO W 600 500 WOO Рис. 5.5. у = Щх) Uy = 7т(х).
Асимптотическое разложение
"(л + 1)
5.1.51. EJiz) -у — і 1 - - + ї I z
л(л + 1)(л + 2)
+ •••} (|argz|<|»j.
Представление Е„(х) для больших значений к
п(п — Zx)
5.1.52. Еп(х) = -
h{
1 +;
+ ^xa - 8„х + п°) + ^
(х + л)'
- 0.36л-« < R(n, X) =S Il +-!-In"4 (X > 0).
I х + п- Ij
Аппроксимация многочленами и рациональными функциями *)
5.1.53. Oai«l,
E1 fx) + In X =
= at, + Яіх + O2X2 + O3X8 + OtX4 + CIrlXrt + е(х), 1 е(:е)| < 2- 10"', д0 - -0.57721 566, а, = 0.05519 968, O1 - 0.99999 193, C1 - -0.00976 004, а, - -0.24991 055, а, - 0.00107 857.
*) Аппроксимация 5.1.53 принадлежит Е. Аллену (Заметка № 169. - МТАС, 1954, 8, с. 240); 5.1.54 и 5.1.56 взяты из [5.7]; 5.1.55 принадлежит С. Гастингсу, мл. (Заметка № 143. - МТАС, 1953, 7, с. 68). 5.2. ИНТЕГРАЛЬНЫЙ СИНУС И ИНТЕГРАЛЬНЫЙ КОСИНУС
59
5.1.54. 1 < х < оо,
+ aIx + flB ,
XexE1(X) - т -— + t(jt),,
X1 + IhX + Ьв
I E(I)I < 5' IO"5, Ol = 2.334733, І1 - 3.330657, о,- 0.250621, »,- 1.681534.
5.1.55. 10 S X < оо,
X^E1(X) = ** + "lX + + C(Jt).
у? + hx + Ь,
I ?(*) I < 10-',
Oi - 4.03640, Ji1 _ 5.03637,
а, т. 1.15198, 6, = 4.19160.
5.1.56. 1 < X < OO1
Xe-E1(X) = ** + «¦*' + **' + -* + '¦. + 5Ы,
X* + »IXа + + ijJt + 4.
І є(х)| < 2- 10-»,
Ui= 8.57332 87401, J1 - 9.57332 23454,
а, = 18.05901 69730, fc - 25.63295 61486,
о, = 8.63476 08925, Ьj = 21.09965 30827,
O1 = 0.26777 37343, Ьл - 3.95849 69228.
5.2. ИНТЕГРАЛЬНЫЙ СИНУС И ИНТЕГРАЛЬНЫЙ КОСИНУС
Определения
5.2.1. Si(z) =
5.2.3. "). Shi(z) =
-dt.
(I arg z I < я).
5.2.4. •'>). Chi(Z) ~ Y + In г + ^ ch 1 dt
о
(I arg z I < it).
5.2.5. si(z) = Si(z) - — ¦
2
Вспомогательные функции
5.2.6. / (z) = Ci(z) sin z — si(z) cos z.
5.2.7. g(z) — — Ci(z) cos z — si(z) sin z.
Интегральный синус и интегральный косинус, выраженные через вспомогательные функции
5.2.8. Si(z) = — - /(z) cos z — g(z) sin z.
2
5.2.9. Ci(z) - /(z) sin г - g(z) cos z.
*) Иногда (см. [5.141, (5.16]) в качестве основной функции использу (ся целая функция ^ (1 — cos t) dt/t, обозна-о
чаемая через Cin(z):
Cin(z) =¦ - Ci(z) + In z + V-
**) Употребляются также обозначения (см. [5.14])
Sih z - ( sh ! diIt, Cinh(z) = С (ch ( - 1) dt lt.
Интегральные представлення
те/2
5.2.10. si(z) = — ^ g—я є™ (cos (z sin I) Jr
0
n/2
5.2.11. Ci(z) + E1(Z) - ^ e-"™ 1 sin (z sin t) dt.
0
і 5.2.12. /(z) - ( dt={ -f— dt (Re z > 0).
J / + z J ;* +1
о 0
5.2.13. .(z) = С - dt - ( dt (Re z > 0).
J t + z .1 Iа + 1
Рис. 5.6. у = Si(Jt) u у - Ci(Jt) Разложения в ряд <-l)»z'»t' (2л + 1) (2л + 1)! '
5.2.14. Si(z) =
5.2.15. Si(z)- Tt^ JIhi, €0
5.1. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ 61
5.2.16. CiO) - Y + In г + J^
5.2.17. Shi(z) -
(-1)»*» , ІЛ 2и(2п)!
2гя+1
izb (2п+ї)(2и+ 1)! '
5.2.18. Chi(z) = у + In z + Yn —---
І=і 2и(2я) 1
Соотношения симметрии
5.2.19. Si(-z) = - Si(z), Si(I) - й(7).
5.2.20. Ci(-z) = Ci(z) - Ы (0 < arg г < я), Ci(S) = Ci(z).
Связь с интегральной показательной функцией
5.2.21. Si(z) = — tEi(/z) - ?,(-;z)] + —
2 і 2
5.2.22. Si(to) = - [Eifce) + E1(X)] (x > 0). 2
5.2.23. Ci(z) = - - №,(fe) + Eif-iz)]
||argz|<^j.
5.2.24. Ci(ix) = - [Ei(x) - E,(x)] + і ~ (x> 0).
Значение на бесконечности
5.2.25. lim SiW = ^ .
Интегралы
Более подробную таблицу интегралов см. в [5.31, [5.61, [5.11], [5.12], [5.13].
5.2.26. (j Jl--Si(Z) (I arg zI < *).
5.2.27. ^ iyi dt--Ci(z) (I arg z)| it).
a
5.2.28. C er" Ci(J)A - -L ln(l + if) (Re а > 0). J Та
о
5.2.29. С е-" Si(I)A - - — arctg а (Re а > 0). J а
о
ео к>
5.2.30. ^ cos 1 Ci(I) dl - ^ sin I si (() dt--j.
5.2.31. ^ Cii(I) dt = ^ Sii(I) dt - -о о
5.2.32. J Ci(I) si(<) dt = - In 2.
5.2.33.
