Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
4.3.100. О =S X =S — .
4
_ 1 + ^xa + O1X1 + t(x),
X
Ic(X)I < 1- 10-», а2 = 0.31755, O1 - 0.20330.
4.3.101. О =S X =S — .
4
= 1 + OBXb + O4Xi + OeXe + O8X8 +
X
+ о„х10 + Оцх" + е(х), 1 с(х) ] ^ 2 ¦ 10->, о, - 0.33333 14036, о, = 0.02456 50893, O4 - 0.13339 23995, Oa, = 0.00290 05250, о, = 0.05337 40603, als = 0.00951 68091.
4.3.102. О S X S - .
4
X Ctg X=I+ OsXa + O1X4 + б(х),
Ie(X)I < 3- IO"0, ch - -0.332867, а,--0.024369.
4.3.103. О ss X S — .
4
X Ctg X = 1 + OaX3 + O4X4 + OeXe + O8X8 + OioX10 + е(х),
|t(x)| =S 4- 1СГв, о, = -0.33333 33410, O8 -0.00020 78504,
O1 = -0.02222 20287, ею--0.00002 62619.
я, - -0.00211 77168, 42
4. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ
Аппроксимация многочленами Чебышева (см. [4,2]) 4.3.104. -1 < х < 1.
Тя(х) = cos /10, cos 0 = Ix — 1 (см. гл. 22),
. I
±пх = х^2 AnTZix2), cos - тгд; я
n Л» n .4»
O 1.27627 8962 0 0.47200 1216
1 -0.28526 1569 1 -0.49940 3258
2 0.00911 8016 2 0.02799 2080
3 -0.00013 6587 3 —0.00059 6695
4 0.00000 1185 4 0.00000 6704
5 -0.00000 0007 5 -O.OOOOO 0047
Производные
d . — sin Z = dz COS z.
d — cos z = dz — sin z.
sec2 z.
d - С05ЄС Z dz = — cosec Z ctg Z.
d — sec z — dz sec Z tg z.
a * — ctg z = dz — cosec2 z.
d* . — sin z — dz» sin |г + -j и tti.
dn - COS Z = dzn : COS Iz + — И7ГІ • l 2 J
Неопределенные интегралы от тригонометрических функции
4.3.113. ^ sin z dz ~ — cos z.
4.3.114. ^ cos z dz— sin z.
4.3.115. ^ tg 7 dz я — In cos z = In sec z,
4.3.116. \ cosec z dz = In tg — = ln(cosec z ~ ctg z) = J 2
2 1 4- cos г
M
4.3 117. \ sec z dz «¦ 3n(sec z -j- tg z) =
где gdz — гудермаыиан, gd z = 2 arctg e® — — ; gd-1 z— — обратный гудермаїшан.
4.3.118. ^ ctg z dz ™ In sin z — — In cosec z.
4.3.119. ^ zn sin z dz = — zn cos г + n J Zft-1 cos z dz.
. . ... f sin г . — sin z . 1 Г cos z .
4.3.120. V---dz = - A--V-dz
J z* in - 1) г»-1 n-1 ) Z*-1
(и > 1).
4.3.121. С—-—dz « - z ctg г + In sin z.
J sin8z
4.3.122.
— Z cos Z
1
{n — 1) sin*-1 Z
n — 2 f z dz
Il - I J !
(л > 2).
(и — 1) (и — 2) Sin"-3 z H-IJ Sin*-Z z
4.3.123. J zn cos z dz = z" sin z — n ^ z1*-1 sin z Jz.
4.3.124.
(n - 1) Z"-'
1 f sin z dz
4.3.125.
4.3.126.
1 Ґ sin z d
~ Il - 1 J Zn-1
t —-— dz z tg z + In cos z. J cos2 z
dz z sin z
Ol > 1).
J COSn
Z (n — 1) COSn"1 Z 1 (n-2)c Z dz
(n _ 1) (и — 2) COS* 2Z n — IJ cos"-2 Z . . ... Г . « „ J Sinw+1 Z COS"-1 Z ,
4.3.127. і Sinm z cos" z dz --;-+
in > 2).
in - 1) (m + H)
j*sin!
z cos*-8 z dz =
ж + * sin""1 Z С05я+1 Z
im - 1)
+ у ¦ —~ ^ sinm-a z cos* Z dz («1 Ф — и).
4
im + n)
dz _L___ __
Sinm Z COSn Z (rt — 1) Sinw"1 Z COS*"1 2 «і + « - 2 f dz
S sii
n — 1 J Sinm Z COSn-a Z dz __ -1 4
sin'ft z cos*® z (m — 1) sinm~l z cos*-1 z m + n — 2 Г dz
tn — 1 J Stnm-3 z cosn z
(»> о,
(m > 1).
1.3.129. ^ tg« zdz= Й—p - j tg»-% rfz (n Ф 1). 4.4. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ ФУНКЦИЙ
43
10. ^ Ctgn z
п - 1 J
і—-J а + 6s
- arctg —-
(.n Ф 1)"
+ b
sin z (a'-b'y» Cd2-Ss)1" (a2 > b2),
Jz_
a + S sin z
Cb» - u2)>"
+ ь - (b' - а1)"
atgl-l + b + tb'-o2)1'2
(Ь2 > а3).
4.3.132.
4.3.133. I
1 ± sin Z
dz _ a + b cos z
= Ttg
(M)-
(a - b) tg
(а2 - W2
arctg -
(!)
Ia' - b'f"
(<¦" > V),
a -f- b cos z
1
(62 - а')"
(b - a) tg ^i-J + (fr -
4.3.135.
4.3.136.
4.3.137.
4.3.138.
(b - a) tg J^j - (b» - a2)1'2
(S2 > a3)
—Ш-
= — ctg z.
eas sin bz dz «-(а sin bz — b cos bz).
а2 + b3
I + COS Z
dz
eaz cos bz dz s
Oi+ b3 еаг Sinrt bz dz =
(a cos bz + b sin bz).
eas Sinn-1 bz
a2 + n2b2 +
(а sin bz —• nb cos bz) +
"{"-V>"4c"sin-'bzdz.
a' + n b J .
4.3.139. ^ e" cos" bz dz
(a cos bz + nb sin bz)+
Mn-J1Ifr cos^2 bzaz a2 + nW )
(m Ф n\ m, 4.3.141.
(tt — целое,
Определенные ин1егралы
sin mt sin nt dt =» 0,
cos mt cos nt dt =* 0 і — целые).
sin3 nt dt = ^ COSa o
7^0).
nt dt = — 2
sin mt
dt*
(m > 0), (m « 0), (m < 0).
sin t2 dt— \ cos tz di-
lti sin t dt = I In cos t dt =--In 2.
J 2
і + t2
Другие интегралы, содержащие тригонометрические функции, см. в гл. 5 и 7. Преобразование Фурье см. в [5.3].
4.3.147. Формулы решения прямоугольных треугольников 44
4. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ
Пусть Л, В, С — вершины прямоугольного треугольника (С — прямой угол); а, Ь, с — соответствующие им противоположные стороны. Тогда
• л а 1
sin А — — =• ----»
с cosec А
л Ь 1
cos А = — ---,
с sec А
Ig^i = -L.-,
b ctg А versine А = vers А — 1 — cos At coversine A = covers А = 1 — sin A1f
ha versine a = hav A - — vers A,
2 t exsecant A = exsec A *= sec A — l.< 4.3.148. Формулы решения треугольников В
Пусть А, В, С — углы треугольника; а, Ь, с — соответствующие им противоположные стороны. Тогда
sin A sin В sin С
