Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
4.4.43. arctg z = -;
4.4.44.
Vl-Z1 1- 3- 5- 7- 9-Анпроксимацнн многочленами *)
4.4.45. Osis 1,
arcsin X = — — (1 — х)ш 1/1(, -f- OjX 4- O2JC2 + O3X3) + ЄІ vh
|s(i)l < 5-10-", во = 1.57072 88, Oj - 0.07426 10, Ol = -0.21211 4(, Oj - -0.01872 93.
4.4.46. O «S л « 1,
arcsin X =--(1 — х)1;з (oo + O1X + оаха + O8Xa 4-
2
+ O1Xi + OsX6 -H O8X8 H- ачх') + е(х), |?(х)| < 2-Ю-", о» = 1.57079 63050, о,= 0.03089 18810,
о і--0,21459 88016, O5 -- 0.01708 81256,
оа - 0.08897 89874, а, — 0.00667 00901, о, = -0.05017 43046, о,- 0.00126 24911.
4.4.47. -U«l,
arctg X = OiX + O3X3 + OeX5 + O7X7 + овх" -1- є(х), Ie(X)I < IO-5
Oi = 0.99986 60, а, - -0.08513 30, O3 = -0.33029 95, о,= 0.02083 51. о, = 0.18014 10,
*) Формулы 4.4.45 — 4.4.47 взяты из [4.5], 4.48 — из 14.61, 4.49 - из [4.1]. 4.4. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ ФУНКЦИЙ
47
4.4.48. -1 «? X « 1, arctg X =
г + е(х),
1 + 0.28л2 |t(x)l « 5-IOj.
4.4.49. 0 с X <1,
«•«*_, + ? fl!lx« + t(x), * fei
Ie(X)I «s 2-ю-8,
O1 = -0.33333 14528, що - -0.07528 96400,
я,= 0.19993 550S5, Дц - 0.04290 96J38,
ав — —0.14208 89944, Oi4 --0.01616 57367,
о, - 0.10656 26393, иц - 0.00286 62257.
Аппроксимация многочленами Чебышсна (см. [4.2])
4.4.50. -1 « X <s 1,
7'*(д) = cos nO, cos 0 - 2х - 1 (см. гл. 22),
arctg x = x S ti = 0 Л.ГКх»),
л -4. „ An
0 0.88137 3587 6 0.00000 3821
1 -0.10589 2925 7 -0.00000 0570
2 0.01113 5843 8 0.00000 0086
3 -0.00138 1195 9 -0.00000 0013
4 0.00018 5743 10 0.00000 0002
5 -0.00002 6215
Пр» X > 1
arctg X "
- ті — arctg
И'
4.4.51. - — V2 < * < — v'2 •
2 2
arcsin X х 2 /In7^(2je2);
О < х < - • 2
arccos = — х V ЛпТ%(2х2);
2 и=0
n -4,, п Л»
0 1.05123 1959 5 0.00000 5881
1 0.05494 6487 6 О.ООООО 0777
2 0.0U408 0631 7 0.00000 0107
3 0.00040 7890 8 0.00000 0015
4 0.00004 6985 9 0.00000 0002
При — V^ < X < 1 используются соотношения 2
arcsin X = arccos (1 — х2)1'2, arccos X = arcsin (1 — х2)ш.
Производные
4.4.52. — arcsin г = (1 — г2)~1/2. dz
4.4.53. — arccos г =» — (1 — z2)-1'2. dz
4.4.54. — arctg г = —^--
dz 1 + г2
4.4.55. — arcctg . dz
4.4.56. — arcsecг —-
dz z(zs -I)1'
4.4.57. — arccosec z = dz
z(za - l)i/2
Неопределенные интегралы от обратных тригонометрических ФVHKI(НИ
k4.5S. ^ arcsin z dz = z arcsin z + (1 — z~)1!i, 1.59. ^ arccos z dz =* z arccos z — (1 — z2)l!s.
1.4.60. C arctg z dz — z arctg z —L ]n (l + z2). J 2
4.4.61. ^ arccosec z dz — z arccosec z ± In [z + (z2 — l)1/a]
(0 < arccosec z < — і —— < arccosec z < o 1 ¦ 2 2 )
4.4.62. ^ arcsec z dz — z arcsec z =F In [z + (za — l)1/a]
(0 < arcsec z < —» — < arcsec z < тг |.
2 2 I
4.4.63. C arcctg z dz = z arcctg z + In (1 + za).
J 2
4.4.64. ( z arcsin z dz = — arcsin z +
3 12 4 J
4.4.65. J а
_ ? (1 _ Z»)M.
4
Zlt+1
4.4.65. \zft arcsin s dz =-arcsin z -
и -f- 1
1
„ + 1 З (1 _ г*уи 4-4.66. C z arccos z dz = f-— —1 arccos z
J U 4 J
dz (n # -1).
¦ - (1 - z")<". 4
4.4.67. V zn arccos z dz =-arccos z +
J n + 1
1 r_*
'» +1 J(l-
dz (иг* -1). 48
4. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ
4.4.68. I z arctg Z dz = — (1 + z'-) arctg z--.
) 2 2
C zn+1
4.4.69. V є™ arctg z dz =---arctg z —
) n + 1
1 f Z«+> dz.
+ Zi
- — [-
I> + 1J 1
(я
4.4.70. ^ г arcctg z dz = (1 + z2) arcctg z -f 4.71. J і
4.4.71. ^ zn arcctg z dz — —- arcctg z H
n + 1
я + 1 J 1 + za
<n ,t
4.5. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ (z = л: + і»
4.5.1. sK z =
4.5.2. ch z =
2
4.5.3. thz=4UJL
ch г
4.5.4. cosech 2 = -
Определенна
Ca - ir* 2
e2 + <rz
3.5 . Zf
1.2 ZM 2.8 5.5 M І
-1.5
-1.5 -3.5
- s/j 3
----ch «г
---the
---cosech л:
.......... sechx
-----cthx
Рис. 4.6. Гиперболические функции.
Связь с тригонометрическими функциями (см. 4.3.49 — 4.3.54)
4.5.7. sh z = —і |in iz.
4.5.8. ch z = cos iz.
4.5.9. th z = —г tg iz.
4.5.10. cosech z = і cosec iz.
4.5.11. sech s = sec iz.
4.5.12. cth г i=> ctg iz.
Периодичность (к — целое)
4.5.13. sh (z + 2kni) = sh z.
4.5.14. ch (z + Ік-кі) ~ ch z.
4.5.15. th (z -f Atjt/) = th z.
Соотношения между гиперболическими функциями
4.5.16. Ch2Z - Sh2Z = і,
4.5.17. th2z + sechaz = 1.
4.5.18. cth3z - cosech2 z = і.
4.5.19. ch z H- sh z = ez.
4.5.20. ch z — sh z = є~г.
Гиперболические функции отрицательных значений аргумента
4.5.21. sh(-z) « -shz.
4.5.22. ch (—z) = ch z.
4.5.23. th(-z) = - thz.
Формулы сложение
4.5.24. sh (zi H- z2) — sh Z1 ch z2 H- ch Z1 sh z%.
4.5.25. ch (zi H- z2) = ch Z1 ch za -f- sh Z1 sh z2.
, _ ., , , . th Z1 -f th Z2
4.5.26. th (Z1 H- z>) =---- ----- ¦
,. 1 + th Z1 th Z2
4.5.27. cth (Z1 + z2) =
cth 'Z1 cth Z2 H- 1 cth Z1 H- cth Z2
Гиперболические функции половинного аргумента
f ch z - 1 V/2
4.5.28. sh -
4.5.29.
4.5.30. th
-HjHtiJ
и
Ch z - 11"» _ ch z - 1__shz
