Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
4.1.31. Ilm х" In X - О (а =. const, Re а > 0).
4.1.32. Iim I Vv — - In т\ = у - 0.57721 J6649..,
|,m IV і - In -
(Y — постоянная Эйлера; см, гл. 1, 6, 23).
Неравенства
4.1.3Э. -і— < In (1 + х) < X (х > — 1, хфО). 1+х
4.1.34. і < -In (1 - х) <
1-х
(х < 1, хФО).
4.1.35. I InCl - х) | <. 31/2 (0 < * =S 0.5828).
4.1.36. In * « X — 1 (х > 0).
4.1.37. In X S п(хЧ• - 1) (и > 0, * > 0).
4.1.38. |1п(1 + г)I S -1п(1 -|г|) (|*| < 1).
Разложения и непрерывную дробь
. і ™ і а . ч z 2 z 4z 4z 9*
4.1.39. InCl +*)— — — — —¦ — —¦
1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+
z принадлежит плоскости с разрезом вдоль действительной ОСИ OT —1 ДО —05.
4z* 9?_ 5- 7—
Ig * - иг( + a,Is + sOc), /.
I SW I « IO-'
z принадлежит плоскости комплексного переменного с разрезом, изображенным на рис. 4.1.
Аппроксимация многочленами (см. [4.5])
4.1.41. 1/ViO «IS
X - 1 x + l' ItWI « 6- 10-', oi - 0.86304, ub - 0.36415.
4.1.42. I/Vl0 « і «VI5,
lg X «= O1I + asts + Osf + a,t + a,t' + s(j),
* + 1 '
аг - 0.86859 1718, 0,- 0.09437 6476, a, - 0.28933 5524, a,- 0.19133 7714. о, = 0.17752 2071,
4.1.43.
ln(l + -YJ — OlX + 02X1 + OaXt Г OiXt \ U5X5 І' є(х),
І c(x) I «S 1 ¦ IO-5, Oi - 0.99949 556, a, = -0.13606 275, o, = -0.49190 896, ot = 0.03215 845. аг - 0.28947 478,
4.1.44. II<1<1,
ln(l + x) — O1JC + OgX2 + OsX3 + Cl1X4 + OgXs j-
-)- OgXe + O1X7 -t- OaXs + t(x), I <JC) Kl- 10"», 4.2. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
35
U1 = 0.99999 64239, U5 = 0.16765 40711, а2 - -0.49987 4123S, а, - -0.09532 93897, о»= 0.33179 90258, о,» 0.03608 S4937, at - -0.24073 38084, а, - -0.00645 35442.
Аппроксимация многочленами Чебышева (см. [4.2]) 4.1.45. 0<К1, TZ(X) = cos п0, cos в = Ix - 1 (см. гл. 22),
ln(l + х) - U АпТ^(х).
п Ля П
0 0.37645 2813 б -0.00000 8503
1 0.34314 5750 7 0.00000 1250
2 —0.02943 7252 - 8 -0.00000 0188
3 0.00336 7089 9 0.00000 0029
4 -0.00043 3276 10 —0.00000 0004
5 0.00005 9471 11 О.ООООО 0001
4.1.47. —In г - (-1)"-1^- I)! г-». dzп
Неопределенные интегралы In Z.
4.1.49. \ In г dz = Z In z - г.
4.1.50. \ Zn \п Z dz ~---In z--
J п + 1 (п + 1)а
(п ф —1, п — целое).
4.1.51. \ г»(1п z)"> dz •
z"«(in г)" п + 1
--4L- С г»(1„ z)"-' rfz (п * - 1).
л + 1 J
.1.52. С ——--lnlnz.
J Z In Z
.1.53. J In [z + (zs ± 1)1»] dz =
= zln[z + (z2 ± I)1"] - (г> ± I)"1.
2П+1
4.1.54. ^ zn In [z + (z! ± 1)»!] dz -
+ (za ± I)1'"]--!— С
"+1 J
"+ 1 2 »+>
(Za ±
Определенные интегралы
In [z +
dz (м Ф - 1).
- dt а,---
6
4Л.М. CJ^A--
Jl+/ 12
о
4.1.57. ( —- (см. J.1.3).
4.2. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
Разложение в степенной ряд
4.2.1. = ехр г = 1 ф — + — + — + ...
1! 21 3!
(z = X + iy),
где е — действительное число, определенное в 4.1.16. Основные свойства
4.2.2. Ln (exp j)az + 2кт (к — целое произвольное).
4.2.3. In (ехр г) г (—тс < Im г ^ тс).
4.2.4. ехр ДЬ z) = ехр (Ln г) = г.
a
4.2.5. — ехр z = ехр г. dz
Показательная функция с произвольным основанием
4.2.6. Если N = az, то г = Loga N.
4.2.7. а* =» exp(z In а).
4.2.8. Если а = \ а\ ехр(/ arg а) (—тс < arg а < тс),
то имеют место 4.2.9 — 4.2.16.
4.2.9. |а8| = \a\*e~yatsa.
4.2.10. arg (а*) ¦» у In | а | + х arg а.
4.2.11. Ln аг = z In а для одного аз значений Ln а8,
4.2.12. In Ox = * In а (я > 0).
4.2.13. I е41 = е*.
4.2.14. arg(?*) у.
4.2.15. eV' - л*,+ Ч
4.2.16. агйг — (а&)* (—« < arg а + arg o «S тс).
Периодичность
4.2.17. е2 + - е» (Jfe - целое). 36
4. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ
а
is
1S
1! U-Z
У Xtnx
-iH ---------/
-es
-'4 /
Рис. 4.2. Логарифмическая и показательная функции. OciiOBtUiic тождества
4.2.18. «*•<?'• «
4.2.19. (<?*')'; - е*'* (—я < ІШ Z1 < тт).
Ограничение — тг < Im I1 ^ і может быть снято, если Z2 — целое.
Пределы
4.2.20. hm rV"'
= O arg z I sS тс - е < ^ тг;
2 2 а ~ постоянная!
Д'+іГ
Частные значення
4.2.22. е = 2.71828 18284 ..
4.2.23. е» - 1.
4.2.24. hm с7 = +оо.
*-* + со
4.2.25. Iim с» - 0.
4.2.27. с - ± I.
4.2.28. е2"1" - 1 (Jlt - целое).
Неравенства (д- ~ действительное число, отличное от нуля)
4.2.29. е-'П'-') < I - X <е~* (х < 1).
4.2.30. е1 > 1 +.х.
4.2.31. е* < —— (х < 1).
1 - л:
4.2.32. —< (1 - < X (л > - 1).
1 + -V
4.2.33. ж < (е* - 1) < -
1 -
(л < 1).
4.2.34. 1 + .Y > (*'(¦+*> (х > -1).
4.2.35. с» > 1 + — (п > О, X > 0).
Ji1
> Jl + ij" > е"П'*Щ (х > 0, у > 0).
< 1 _ і (0< л « 1.5936). 2
7 ,
4.2.36. е"
4.2.37.
4.2.38. - I г I < I е' - 1 I <
4 4
(О < I 2 I < I).
4.2.39.
- 1 «S |z| е"'.
Разложения в непрерывную дробь 4.2.40. I z I < оо,
Izz ZZZZ
~ 1- 1+ 2- 3+ 2- 5+ 2-
г j ZZZZZ
+ 1- 2+ 3- 2+ 5- 2+ 7- " '
Z3 Za Za —
— З — 15 - 35 І (4и2 - 1) z 4 4 4 4
(l-z/2) + 1+ 1+ 1+.
1 +
4.2.41. e• - e„ ,(z) =
nI- (в 1)+ (її + 2)-+ -'>'- 2г -.. ^iiL* .. (1z| <„),
(л + 3)+ (I! + 4)- (n + 5> + (n + 6)-frt(z) см. в 6.5 11.
