Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
_2a _ tf + 1 <?_+ 4 9 2-а+ 3z+ Sz+ 7z +
z принадлежит плоскости; комплексного переменного с разрезом, изображенным на рис, 4 4.
Аппроксишцпя многочленами
4.2.43. О s; X < In 3 = ().693 ...,
е :с -= 1 + th.x + ^yj + t(x),
IeWI < 3- ю-3, Hi = -0.9664, а; = 0.3536.
4.2.44. 0 S ї « In 2,
е~х = 1 + і? i-V + + u ;A;i + «1 л'1 + є(д)„
|е(х)| S 3 - 10-», а, - -0 99986 84, а, = -0.15953 32, а,= 0.49829 26, O1 = 0 02936 41.
*) Формулы 4.2.43 — 4.2.45 взяты из [4.1], 4.2.46 к 4.2.47 - из [4.51. 4.4. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ ФУНКЦИЙ 38
4.2.45. О < х =S In 2,
Cj=I- а,л- + asx" ¦+ іілх' + ойх:> -
+ а,х" + O7-T7 + е(х), I г WI < 2- 11Г10, O1 = -0.99999 99995, о, - - 0.00830 13598, Oj= 0.49999 99206, a,= 0.00132 98820, O3 - -0.16666 53019, о, = -0.00014 13161, O1 = 0.04165 73475,
4.2.46. KKl,
10* = (1 + Ol* + Ozis + O1X1 + O4X4)2 + с(х), It(X)I S 7- IO-4, Oi - 1.14991 96, о, - 0.20800 30, % = 0.677 4323, а, = 0.12680 89.
4.2.47. 0?!?],
] ()¦' = (1 + OlX + OaXa -Г O3X3 -І- O4T4 + O6X5 +
! + o,V> + а,х')г + S(x), |«С*)| < 5- IO"8, oi = 1.15129 277603, о, = 0.01742 111988, oa = 0.66273 088429, а, = 0.00255 491796, а, = 0.25439 357484, о, = 0.00093 264267. O1 = 0.07295 173666,
Аппроксимация многочленами Чебышева (см. [4.2])
4.2.48. Osis 1,
Т,*(.х) = cos иО, cos 0 = 2х - 1 (см. гл.'2%'
S AtTfa), - 2 AaTfa).
И Л» И An
0 1.75338 7654 0 0.64503 5270
1 0.85039 1654 1 —0.31284 1606
2 0.10520 8694 2 0.03870 41 16
3 0.00872 2105 3 -0.00320 8683
4 0.00054 3437 4 0.00019 9919
5 0.00002 7115 5 -0.00000 9975
6 O.OOOOO 1128 6 0.00000 0415
7 0.00000 0040 7 —0.00000 0015
8 0.00000 0001
Производные
4.2.49. — Ct^et. dz
4.2.50. — е" = а'е".
•dz"
4.2.51. — Ut = с? In а. dz
4.2.52. — za = ог"-' dz
4.2.53. — Zz = (1 + In z) z'. dz
Неопределенные интегралы 4.2.54. { e" <iz= —
^ zne'
4.2.55. \z'e"dz
- [(oz)" - n(oz)"-1 +
+ Mn - l)(az)»-3 + ... + (-1)»->л!(<гг) + (-1)»«!J
.... . .,H (« ^ 0).
4.2.56. ^ ^ dz =
- + -
(„ - 1) z»'1 n ~ 1
Jz»->
(« > 1).
4.3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
Определения
4.3.1. sin z = -
4.3.3. Igz
ФУНКЦИИ (z = x + Іу) ___ 1
4.3.6. ctg z.
cos z 1
tg г
Периодичность
4.3.7. sin (z + Ikr:) — sin z (А — целое).
4.3.8. cos (z -i 21:-; — cos r.
4.3.9. tg (z + Атт) = tg z. 38
4. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ
Рис. 4.3. Тригонометрические функции.
Соотношения между тригонометрическими функциям«
4.3.10. sin3 г 4- cos2 Z = 1.
4.3.11. see" z - tg3 z = 1.
4.3.12. cosec2 z — ctg2 z=l. Тригонометрические функции отрицательных
ароментов
4.3.13. sin( — z) = — bin z.
4.3.14. cos (—z) в= cos z.
4.3.15. Ig (-z) = — tgz.
Формулы сложения
4.3.16. sin (Zi + Z2) = sin Z1 CCS Za + COS Z1 sin Zz-
4.3.17. cos (zi + z3) = cos Z1 cos za — sin Z1 sin za.
tg Z1 + tg Z2
4.3.18. tg(zi + za) =
4.3.19. ctg (zi + Zg) =
1 - tg Z1 tg Z2
ctg Z1 ctg z2 — 1
Формулы для половинного значения аргумента
4.3.20. sin — = 2
I 1 - cos Zj1'
4.3.21. cos — — і і-1
2 I 2 I
4.3.22. tg - = ±
2
I + cos z |1/д
,1'1 1 - cos z
f I — cos zV' ' 1+cos Z)
sin г 1-J- cos z Знак выбирается в соответствии со знаком левой части.
Универсальная тригонометрическая подстановка
Если tg — = z, то
2
4.3.23. sin и —-» cos и —---, du —----dz.
1+22 I +Z3 l+z*
Тригонометрические ф) HKUKH кратных аргументов
4.3.24. si.n 2 Z= 2 sin z с
2 tgz
1 + tg* z
4.3.25. cos 2z = 2 cos2 z — 1 = 1—2 sin8 z —
= cos" z — sin" z = ¦
1 + tg2 z
4.3.26. tg2z-
2 tg z
2 ctg z
1 - tg2 z Ctg2 z-1 ctg z - tg 2
4.3.27. sin 3z = 3 sin z — 4 sin8 z.
4.3.28. cos 3z = —3 cos z + 4 cos3 z.
4.3.29. sin 4z = 8 cos3 z sin z — 4 cos z sin z.
4.3.30. cos 42 = 8 cos4 z — 8 cos2 z + 1.
Произведения синусов и косинусов
4.3.31. 2 sin Z1 sin Z2 — cos (Z1 — za) — cos (Z1 + z3).
4.3.32. 2 cos Z1 cos za — cos (Z1 — za) + cos (z1 -f z2).
4.3.33. 2 sin Zi cos Z3 = sin (z1 — Zi) + sin (zx + za).
Сумма и разность тригонометрических функций
4.3.34. sin Zi + sin za = 2 sin
4.3.35. sin z1
4.3.36. cos Zi
C^a) —C-
1-1 + Z.I (z, - гЛ + cos z. = 2 cos I-I CO& I ---------1 •
I 2 і I 2 j
+ Za! . (Z1- z8"\
-T-JenI-T-J-
4.3.37. cos Zi — cos Zg = -
sin (zi ± z2)
4.3.38. tg z1 ± tg z2
4.3.39. ctg Ziictg z2=-
COS zi COS za sin (z2 J; z1) bill z1 sin Za
Соотношения между квадратами синусов н косинусов
4.3.40. Sin2Zi — Sin3z3 = sin (z1 + zz) sin (Z1 — Zi).
4.3.41. COS2 Zx — COS3 z2 == — sin (z1 + z2) sin (z1 — Zi).
4.3.42. cos sZi — sin® z2 = cos (Z1 + Z2) cos (zx — z2). 4.3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
39
4.3.43. Знаки тригонометрических функций
Квадрант sin со» tg Bte
і + + +
II + _ —
III — — +
IV _ + —
4.3.44. Формулы приведения
(О ^ 0 «S те/2, к — целое)
-9 ж ± e 2 Ikn ±fl
sin —sin 6 cos 9 ^fbin 9 —cos 0 isin 9
COS cos 0 -F sin 0 —cos 0 isin 0 cos 9
tg —tg 9 ^ctg 0 ±tg 0 ^ctg e ±tge
