Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Абрамович М. -> "Справочник по специальным функциям" -> 26

Справочник по специальным функциям - Абрамович М.

Абрамович М. Справочник по специальным функциям — М.: Наука, 1979. — 832 c.
Скачать (прямая ссылка): spravochnikpospecialnimfunkciyam1979.pdf
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 480 >> Следующая


- действительную ось OT —00 ДО —1 H от +1

51

в 4.6.3

до +оо.

Для обратных гиперболических функций применяют также обозначения sh-1 z, arcsh z, Arsinh z и т.д.

4.6.4. arcosech z = Arsh — •

4.6.5. arsech z = Arch — Z
4.«.«. arcth z = Arth і - Z
№ V

г ¦ * a
I arsh z arch z

Рис. 4.7. Линии разреза для обратных гиперболических функций.

4.6.7. arth z = areth z ± — (см. 4.5.60) (знак + при

2

Im z > 0, знак — при Im z < 0).

Основные свойства Общими решениями уравнений.

z = sh t, z = ch Г, z = th t являются соответственно функции

4.6.8. t Arsh z я» (— 1)* arsh z + km,

4.6.9. t = Arch z = ± arch z + lkni,

4.6.10. r — Arth z = arth z + kni (к — целое).

Обратные гиперболические функция отрицательного аргумента

4.6.11. arsh(—z) = — arsh z.

4.6.12. arch(—z) = arch z.

4.6.13. arth(—z) = — arth z.

Связь с обратными тригонометрическими функциями (см. 4.4.20 — 4.4.25)

Тождества, которым удовлетворяют гиперболические функции, могут быть получены из соответствующих тождеств для тригонометрических функций заменой z на iz.

4.6.14. Arsh z я» — і Arcsin і z.

4.6.15. Arch г = ± і Arccos z.

4.6.16. Arthz= — і Arctg і z.

4.6.17. Arcosech z = і Arccosec і z.

4.6.18. Arsech z = ± і Arcsec z.

4.6.19. Arcth z = і Arcctg і z.

Логарифмические представления

4.6.20. arsh X - In [x + (л2 + 1)1/2].

4.6.21. arch л = In [x + (jc2 - l)1'2] (x > 1).

4.6.22. arth л - - In

2 1 - *

(0 ^ л8 < 1).

4.6.23. arcosech * = In + ^ + 1 J*"j (x * 0).

4.6.24. arsech л = In + - 1 jW*J (0<^ 1).

4.6.25. arcth x >

JLmiii

2 х - і

(Xі > 1).

-5.0 -U? -3M -ZM \

t? ZO 3.0 4M 5.0 X -1.0 -2.0

—— arsh s

------- archX

-UM ---arthz:

I —---ar cosech X

—arsech г

------arcthx ¦

Рис. 4.8. Обратные гиперболические функции.

Сумма и разность обратных гиперболических функций

4.6.26. Arsh Zi ± Arsh Z8

= Arsh Ml + zf)1,s ± za(l + zl)V*].

4.6.27. Arch zi ± Arch za =

= Arch (Z1Za ± M - I) (zi - l)]1/a}.

4.6.28. Arth zi ± Arth Za = Arth ( Zl ± Zt ) .

I 1 ± Z1Zi )

4.6.29. Arsh Zi ± Arch Z2 =

= Arsh (Z1Z2 ± [(1 + z{) (z\ - I)]1'2} -= Arch [z3(l + z*)1/B ± Z1^t - l)1«]. 52

4. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ

4.6.30. Arth Z1 ± Arcth z„ - Arth ( ZlZ' * ' ) = I г, ± z1 )

I Z8 ± Z11

I ZiZa ± 1 J

Разложения в степенные ряды

4.6.31. arshZ-Z--— z> + 1-3 zs-

2-3 2-4-5

2-4-6-7

-z' + ... (|z| < 1),

1 1-3 . 1-3-5

arsh г = m 2z H--+ -—:—— + -

2- 2z2 2-4-4z' 2-4-6-

4.6.32. arch z - In 2z -

2- 2za 2-4-4z" 1-3-5

(I z| > 1).

(IZl > 1).

4.6.33. arth z - і + — + — + - + ... (I z I < 1).

3 5 7

4.6.34. arcth z = - + — + — + — + ... (|z| > 1).

z 3 zs 5z' Iz?

Разложения в непрерывную дробь

л* .ь z z* 4z>

4.6.35. arth z -----..., z принадле-

1 - 3 - 5 - 7 -жит плоскости с разрезом, изображенным на рис. 4.7.

4 6 36 arsh z ^ z 1 ¦ 2z' 1 ¦ 2z* 3 ¦ 4z2 3 ¦ 4z' Vl + Zi 1+3+ 5+ 7+ 9 +

Производные

4.6.37. — arsh z - (1 + z2)-1'2. dz

4.6.38. — arch z = (zs - I)-1'2. dz

4.6.39. — arth z - (1 - z')-1. dz

4.6.40. — arcosech z = =F---

dz z(l+z»)V2

(знак — при Re z > 0 и знак + при Re z < 0).

1

4.6.41. — arsech z = =F -

dz z(l - z2!1'»

4.6.42. — arcth г = (1 - z')"1-dz

Неопределенные интегралы

от обратных іішербо.інчеиінх функций

4.6.43. J Iirsh z dz = z arsh z - (1 + z8)>'2.

4.6.44. Jxirch z dz — z arch z — (z* — l)1/a.

4.6.45. 4.6:46.

4.6.47.

4.6.48.

4.6.49.

4.6.50.

4.6.53.

4.6.54.

4.6.55.

4.6.56.

4.6.59.

4.6.60.

arth zdz-z arth z + — In (1 - z!).

2

arcosech z dz =» z arcosech z + arsh z.

arsech z dz z arsech z -f- arcsin z.

arcth z dz =• z arcth z + — ln(z2 — 1).

2

2za 4- 1 z

z arsh z dz - T arsh z- — (z2 + І)1«. 4 4

1 Г zn+1 --— l----dz (n # -1).

" + 1 3 (1 + z2)1"

z arch z dz=* arch z — — (z! 1)"'.

4 4

" + 1 1 f z«+1

l+IJ(i'- l)1"

dz (n * -1).

-arth zH---

2 2

zn arth z dz =--arth z -

л + 1

i_( iz (n#-l).

И + 1 J 1 - z1

z arcosech z dz =* — arcosech z + — (1 + za),fa.

Zn arcosech z dz =-arcosech z +

n+ 1

--M

л + 1 J

(Z2 + 1)""

</z (n # -1).

z arsech z dz = — arsech z — — (1 — z2)1/?. 1 2

z» arsech z dz --arsech z +

и + 1

+

z arcth z dz

-M-

.л + 1 J (1 -

Z2)1'2



-arcth zH— -

2 2

arcth z dz —-arcth z +

>¦ + 1

1 Г 7M+i + —— -iz

n + 1 J Z2 - 1 ЛИТЕРАТУРА

53

ЛИТЕРАТУРА

4.1. Carlson В., Goldstein, M1 Rational approxima-

tion of functions. — Los Alamos: Los Alamos Scientific Laboratory LA-1943, 1955.

4.2. Clenshaw C. \V. Polynomial approximations to

elementary functions. — Math. Tables Aids Comp. 1954, 8, p. 143-147.

4.3. Clenshaw C. W. A note on the summation of Che-

byshev scries. — Math. Tables Aids Сотр., 1955, 9, p. 118-120.

4.4. H a r d у G. H. A course of pure mathematics. — N.Y.:

Macmillan Co., 1947. Русский перевод: Xapпи Г. X. Курс чистой математики. — M.: ИЛ, 1949.
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 480 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed