Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
- действительную ось OT —00 ДО —1 H от +1
51
в 4.6.3
до +оо.
Для обратных гиперболических функций применяют также обозначения sh-1 z, arcsh z, Arsinh z и т.д.
4.6.4. arcosech z = Arsh — •
4.6.5. arsech z = Arch — Z
4.«.«. arcth z = Arth і - Z
№ V
г ¦ * a
I arsh z arch z
Рис. 4.7. Линии разреза для обратных гиперболических функций.
4.6.7. arth z = areth z ± — (см. 4.5.60) (знак + при
2
Im z > 0, знак — при Im z < 0).
Основные свойства Общими решениями уравнений.
z = sh t, z = ch Г, z = th t являются соответственно функции
4.6.8. t Arsh z я» (— 1)* arsh z + km,
4.6.9. t = Arch z = ± arch z + lkni,
4.6.10. r — Arth z = arth z + kni (к — целое).
Обратные гиперболические функция отрицательного аргумента
4.6.11. arsh(—z) = — arsh z.
4.6.12. arch(—z) = arch z.
4.6.13. arth(—z) = — arth z.
Связь с обратными тригонометрическими функциями (см. 4.4.20 — 4.4.25)
Тождества, которым удовлетворяют гиперболические функции, могут быть получены из соответствующих тождеств для тригонометрических функций заменой z на iz.
4.6.14. Arsh z я» — і Arcsin і z.
4.6.15. Arch г = ± і Arccos z.
4.6.16. Arthz= — і Arctg і z.
4.6.17. Arcosech z = і Arccosec і z.
4.6.18. Arsech z = ± і Arcsec z.
4.6.19. Arcth z = і Arcctg і z.
Логарифмические представления
4.6.20. arsh X - In [x + (л2 + 1)1/2].
4.6.21. arch л = In [x + (jc2 - l)1'2] (x > 1).
4.6.22. arth л - - In
2 1 - *
(0 ^ л8 < 1).
4.6.23. arcosech * = In + ^ + 1 J*"j (x * 0).
4.6.24. arsech л = In + - 1 jW*J (0<^ 1).
4.6.25. arcth x >
JLmiii
2 х - і
(Xі > 1).
-5.0 -U? -3M -ZM \
t? ZO 3.0 4M 5.0 X -1.0 -2.0
—— arsh s
------- archX
-UM ---arthz:
I —---ar cosech X
—arsech г
------arcthx ¦
Рис. 4.8. Обратные гиперболические функции.
Сумма и разность обратных гиперболических функций
4.6.26. Arsh Zi ± Arsh Z8
= Arsh Ml + zf)1,s ± za(l + zl)V*].
4.6.27. Arch zi ± Arch za =
= Arch (Z1Za ± M - I) (zi - l)]1/a}.
4.6.28. Arth zi ± Arth Za = Arth ( Zl ± Zt ) .
I 1 ± Z1Zi )
4.6.29. Arsh Zi ± Arch Z2 =
= Arsh (Z1Z2 ± [(1 + z{) (z\ - I)]1'2} -= Arch [z3(l + z*)1/B ± Z1^t - l)1«].52
4. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ
4.6.30. Arth Z1 ± Arcth z„ - Arth ( ZlZ' * ' ) = I г, ± z1 )
I Z8 ± Z11
I ZiZa ± 1 J
Разложения в степенные ряды
4.6.31. arshZ-Z--— z> + 1-3 zs-
2-3 2-4-5
2-4-6-7
-z' + ... (|z| < 1),
1 1-3 . 1-3-5
arsh г = m 2z H--+ -—:—— + -
2- 2z2 2-4-4z' 2-4-6-
4.6.32. arch z - In 2z -
2- 2za 2-4-4z" 1-3-5
(I z| > 1).
(IZl > 1).
4.6.33. arth z - і + — + — + - + ... (I z I < 1).
3 5 7
4.6.34. arcth z = - + — + — + — + ... (|z| > 1).
z 3 zs 5z' Iz?
Разложения в непрерывную дробь
л* .ь z z* 4z>
4.6.35. arth z -----..., z принадле-
1 - 3 - 5 - 7 -жит плоскости с разрезом, изображенным на рис. 4.7.
4 6 36 arsh z ^ z 1 ¦ 2z' 1 ¦ 2z* 3 ¦ 4z2 3 ¦ 4z' Vl + Zi 1+3+ 5+ 7+ 9 +
Производные
4.6.37. — arsh z - (1 + z2)-1'2. dz
4.6.38. — arch z = (zs - I)-1'2. dz
4.6.39. — arth z - (1 - z')-1. dz
4.6.40. — arcosech z = =F---
dz z(l+z»)V2
(знак — при Re z > 0 и знак + при Re z < 0).
1
4.6.41. — arsech z = =F -
dz z(l - z2!1'»
4.6.42. — arcth г = (1 - z')"1-dz
Неопределенные интегралы
от обратных іішербо.інчеиінх функций
4.6.43. J Iirsh z dz = z arsh z - (1 + z8)>'2.
4.6.44. Jxirch z dz — z arch z — (z* — l)1/a.
4.6.45. 4.6:46.
4.6.47.
4.6.48.
4.6.49.
4.6.50.
4.6.53.
4.6.54.
4.6.55.
4.6.56.
4.6.59.
4.6.60.
arth zdz-z arth z + — In (1 - z!).
2
arcosech z dz =» z arcosech z + arsh z.
arsech z dz z arsech z -f- arcsin z.
arcth z dz =• z arcth z + — ln(z2 — 1).
2
2za 4- 1 z
z arsh z dz - T arsh z- — (z2 + І)1«. 4 4
1 Г zn+1 --— l----dz (n # -1).
" + 1 3 (1 + z2)1"
z arch z dz=* arch z — — (z! 1)"'.
4 4
" + 1 1 f z«+1
l+IJ(i'- l)1"
dz (n * -1).
-arth zH---
2 2
zn arth z dz =--arth z -
л + 1
i_( iz (n#-l).
И + 1 J 1 - z1
z arcosech z dz =* — arcosech z + — (1 + za),fa.
Zn arcosech z dz =-arcosech z +
n+ 1
--M
л + 1 J
(Z2 + 1)""
</z (n # -1).
z arsech z dz = — arsech z — — (1 — z2)1/?. 1 2
z» arsech z dz --arsech z +
и + 1
+
z arcth z dz
-M-
.л + 1 J (1 -
Z2)1'2
-arcth zH— -
2 2
arcth z dz —-arcth z +
>¦ + 1
1 Г 7M+i + —— -iz
n + 1 J Z2 - 1ЛИТЕРАТУРА
53
ЛИТЕРАТУРА
4.1. Carlson В., Goldstein, M1 Rational approxima-
tion of functions. — Los Alamos: Los Alamos Scientific Laboratory LA-1943, 1955.
4.2. Clenshaw C. \V. Polynomial approximations to
elementary functions. — Math. Tables Aids Comp. 1954, 8, p. 143-147.
4.3. Clenshaw C. W. A note on the summation of Che-
byshev scries. — Math. Tables Aids Сотр., 1955, 9, p. 118-120.
4.4. H a r d у G. H. A course of pure mathematics. — N.Y.:
Macmillan Co., 1947. Русский перевод: Xapпи Г. X. Курс чистой математики. — M.: ИЛ, 1949.