Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Абрамович М. -> "Справочник по специальным функциям" -> 23

Справочник по специальным функциям - Абрамович М.

Абрамович М. Справочник по специальным функциям — М.: Наука, 1979. — 832 c.
Скачать (прямая ссылка): spravochnikpospecialnimfunkciyam1979.pdf
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 480 >> Следующая


. <?2 + Ьг - а1

' 2be

а — b cos С + с cos І

tg - (Л + В) а +¦ Ь 2

а~Ь tg I(A-B) 2

S = bS-^d = V р(р - а) (р -6) (р~-~с).

где 5 - площадь треугольника, р = — (a + b + с).

2

4.3.149. Формулы решения сферических треугольников

Пусть А, В, С — три угла и а, Ь, с — соответствующие им противоположные стороны. Тогда

sin А __ sin В sin С sin a sin b sin с

cos a S= cos b cos с + sin b sin с cos A =

cos b cos (c ± O) • cos 0

где tg б = tg b cos A,

cos A — — cos B cos C 4- sin B sir C cos a.

4.4. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Определения

4.4.1. arcsin 2=(-—--(z =» х + iy).

З (1 - /2)1/2

3(1 - г*)1'2 2

4.4.3. arctg z ¦¦



В интегралах 4.4.1 и 4.4.2 путь интегрирования не должен пересекать действительную ось, а в интеграле 4.4.3 — мнимую ось вне единичной окружности с центром в начале координат. Каждая из этих функций яте.чяется однозначной аналитической в плоскости комплексного неременного z с разрезом вдоль действительной оси от — оо до —1 и от

+ L до -I- оо в случаях 4.4.1 к 4.4.2 и с рагрезом вдоль мни мой оси от і до / ос и от — і до — / X в случае 4.4.3.

Для обратных тригонометрических функций иногда употребляются следующие обозначения:

arcsin z = sin-1 г, arccos z = cos""1-, arctg z = tg "iZ,...

Если —1 * < 1, то arcsin X и arccos л- действительны и имеют место 4.4.4 — 4.4.9.

4.4.4. — — < arcsin х ^ — (u «s arccos л < я). 2 2

4.4.5. arctg'z + arcctg х ¦¦

J я/2, * 1 — я/2,

Re z > О Re z < 0.

4.4.6. arccosec z = arcsin — • 4.4. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ ФУНКЦИЙ

45

4.4.7. arcsec z = arccos — •

4.4,8. arcctg z — arctg -

4.4.9. arcsec z + arccosec z « — (см. 4.3.45).

2

Лд

X
-1 D +1 0
arccosec zu arcctg z
arcsec z

Рис. 4,4. Лилии разреза для обратных тригонометрических функций.

Основные свойства

Общими решениями уравнений

sin t = Г, COS t = 2, tg I = Z

являются соответственно функции

4.4.10. t = Aicsin г = ( — I)1' aresin г + кт..

4.4.11. t = Arccos z = ±arccos z + 2къ.

4.4.12. ! = Arctg г = arctg т + кг. (г2 # -1), где к — произвольное целое.

4.4.13. Область определения главного значения

У x <6
arcsin х и arctg х arccos X и arcsec х arcctg X и arccosec х 71 0 < у <5 - , г 0 < у S І я т. — < у =S ти 2 — тс/2 « У < 0

arcsin Л

— arccos JT

— arctg X

— arc costs X ..... arc sec X

— — crcdgjr

Рис. 4.5. Обратные тригонометрические функции. Функции отрицательного аргумента

4.4.14. arcsin ( — z) = -- arcsin z.

4.4.15. arccos (—z) = те — arccos z.

4.4.16. arctg (—2) = — arctg z,

4.4.17. arccosec (—2) = — arccosec z.

4.4.18. arc.sec (—r) = 7: - arcsec z.

4.4.19. arcctg (— z) = r. — arcctg z.

Связь с обратными гиперболическими функциями (см. 4.6.14 — 4.6.19)

4.4.20. Aicsin z— — / Arsh Iz.

4.4.21. Arccos 2 = ± J Arch z.

4.4.22. Arctg z = - і Arth \z (г8 # -1).

4.4.23. Arccosec z = / Arcosech Iz.

4.4.24. Arcsec z = ± / Arsech г.

4.4.25. Arcctg z — і Arcth fz.

Логарифмические представления

4.4.26. Arcsin X= - і Ln Kl - *2)l/a + ix] (x* < 1).

4.4.27. Arccos * = - і Ln [x + /(1 - х2)1/ї] (x8 < 1). 1 — г'лг і т і + х

4.4.28. Arctg л = -Ln-

2 1 + ix

4.4.29. Arccosec л =

4.4.30. Arcsec X =

=C Lti -2 і — ж

(л — действительное).

(X2 - 1)1" + і -І



(.V3 2* 1). (Xs > і).

(.4.31. Arcctg * = і- Ln (-*+!} = L Ln f-^-] 2 I1 ix — \ ) 2 { x + і J

(x — действительное). 46

4. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ

Сумма и разносі ь обратных тригонометрических функций

4.4.32. Arcsin Z1 ± Arcsin Zs =

- Arcsin Ы\ - zD1'3 ± Z3O -

4.4.33. Arccos Z1 ± Areeos Zi =

= Arccos [Z1Zi T [(1 - 4) (I -

4.4.34. Aretg Z1 ± Aretg Z2 —

= Arcgf^).

U T z,zJ

4.4.35. Arcsin Zi ± Arccos za ~

= Arcsin {ZiZu = [(1 - г?) (1 - 2І)]1'3} = - Arceos [za(l - z\)4' T Z1U - ZD1'*].

4.4.36. Arctg Zi ± Arectg Za =

- Arctg I ) = Areet8 [ .

V Za т Z1 ) Xz1S2 =F IJ

Действительная л мнимая насти обратных тригонометрических функций

4.4.37. Arcsin z = кп + (—I)*7 aresin ? +

+ (—1)® Ив [a -f (а3 — 1)|/а].

4.4.38. Arccos z »

- 2kit ± {arccos ? - І In [а + (а? - l)1/aj}.

Z3 Zb Z1

4.4.42. arctg Z = z--+---+...

3 5 7

(I z| ^ 1, Z1 Ф -1).

arctg z « ~ - I + -L _ -L + ... (I z| > 1, zV -1), 2 z 3za 5 Zi

z T1 , 2 zg 2-4 { za 12 ¦] . aretg z. _ [, + - _ + _ - |__j + ... j

(Z® !» -1).

Разложения в непрерывную дробь

(z принадлежит плоскости с разрезом, изображенным на рис. 4.4)

4.4.39.

Aretg z — к-к -f- — aretg Г----) +

2 У I - X2 - у2 J

+ itar?LtOL±iq (zaф —о, 4 Ua 4- (у — l)aJ

где к — целое или нуль и

а - І [(і + 1)' + /]"а + - И* - Da + /]"", 2 2

р - і К* + 1)" + /]1'* - - К* - Us + Л1"-2 г

Разложения в степенной ряд

Z8 1 • 3zfi

4.4.40. arcsin z=z+--(*--1-

2-3 2-4>5

+-Ll^L+ „ (и<1).

4.4.41. arcsin <.3 — z) «

-tv ii + v : -Л

L Ы 2«(2/С + 1)А! J

(|z| < 2).

z_ __9z'^ 16z*

1+ 3+ 5+ 7+ 94- "" arcsin z z 1 ¦ 2z! 1 • 2z! 3 ¦ 4z8 3 • 4za
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 480 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed