Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
. <?2 + Ьг - а1
' 2be
а — b cos С + с cos І
tg - (Л + В) а +¦ Ь 2
а~Ь tg I(A-B) 2
S = bS-^d = V р(р - а) (р -6) (р~-~с).
где 5 - площадь треугольника, р = — (a + b + с).
2
4.3.149. Формулы решения сферических треугольников
Пусть А, В, С — три угла и а, Ь, с — соответствующие им противоположные стороны. Тогда
sin А __ sin В sin С sin a sin b sin с
cos a S= cos b cos с + sin b sin с cos A =
cos b cos (c ± O) • cos 0
где tg б = tg b cos A,
cos A — — cos B cos C 4- sin B sir C cos a.
4.4. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Определения
4.4.1. arcsin 2=(-—--(z =» х + iy).
З (1 - /2)1/2
3(1 - г*)1'2 2
4.4.3. arctg z ¦¦
В интегралах 4.4.1 и 4.4.2 путь интегрирования не должен пересекать действительную ось, а в интеграле 4.4.3 — мнимую ось вне единичной окружности с центром в начале координат. Каждая из этих функций яте.чяется однозначной аналитической в плоскости комплексного неременного z с разрезом вдоль действительной оси от — оо до —1 и от
+ L до -I- оо в случаях 4.4.1 к 4.4.2 и с рагрезом вдоль мни мой оси от і до / ос и от — і до — / X в случае 4.4.3.
Для обратных тригонометрических функций иногда употребляются следующие обозначения:
arcsin z = sin-1 г, arccos z = cos""1-, arctg z = tg "iZ,...
Если —1 * < 1, то arcsin X и arccos л- действительны и имеют место 4.4.4 — 4.4.9.
4.4.4. — — < arcsin х ^ — (u «s arccos л < я). 2 2
4.4.5. arctg'z + arcctg х ¦¦
J я/2, * 1 — я/2,
Re z > О Re z < 0.
4.4.6. arccosec z = arcsin — • 4.4. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ ФУНКЦИЙ
45
4.4.7. arcsec z = arccos — •
4.4,8. arcctg z — arctg -
4.4.9. arcsec z + arccosec z « — (см. 4.3.45).
2
Лд
+і
X
-1 D +1 0
arccosec zu arcctg z
arcsec z
Рис. 4,4. Лилии разреза для обратных тригонометрических функций.
Основные свойства
Общими решениями уравнений
sin t = Г, COS t = 2, tg I = Z
являются соответственно функции
4.4.10. t = Aicsin г = ( — I)1' aresin г + кт..
4.4.11. t = Arccos z = ±arccos z + 2къ.
4.4.12. ! = Arctg г = arctg т + кг. (г2 # -1), где к — произвольное целое.
4.4.13. Область определения главного значения
У x <6
arcsin х и arctg х arccos X и arcsec х arcctg X и arccosec х 71 0 < у <5 - , г 0 < у S І я т. — < у =S ти 2 — тс/2 « У < 0
arcsin Л
— arccos JT
— arctg X
— arc costs X ..... arc sec X
— — crcdgjr
Рис. 4.5. Обратные тригонометрические функции. Функции отрицательного аргумента
4.4.14. arcsin ( — z) = -- arcsin z.
4.4.15. arccos (—z) = те — arccos z.
4.4.16. arctg (—2) = — arctg z,
4.4.17. arccosec (—2) = — arccosec z.
4.4.18. arc.sec (—r) = 7: - arcsec z.
4.4.19. arcctg (— z) = r. — arcctg z.
Связь с обратными гиперболическими функциями (см. 4.6.14 — 4.6.19)
4.4.20. Aicsin z— — / Arsh Iz.
4.4.21. Arccos 2 = ± J Arch z.
4.4.22. Arctg z = - і Arth \z (г8 # -1).
4.4.23. Arccosec z = / Arcosech Iz.
4.4.24. Arcsec z = ± / Arsech г.
4.4.25. Arcctg z — і Arcth fz.
Логарифмические представления
4.4.26. Arcsin X= - і Ln Kl - *2)l/a + ix] (x* < 1).
4.4.27. Arccos * = - і Ln [x + /(1 - х2)1/ї] (x8 < 1). 1 — г'лг і т і + х
4.4.28. Arctg л = -Ln-
2 1 + ix
4.4.29. Arccosec л =
4.4.30. Arcsec X =
=C Lti -2 і — ж
(л — действительное).
(X2 - 1)1" + і -І
(.V3 2* 1). (Xs > і).
(.4.31. Arcctg * = і- Ln (-*+!} = L Ln f-^-] 2 I1 ix — \ ) 2 { x + і J
(x — действительное). 46
4. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ
Сумма и разносі ь обратных тригонометрических функций
4.4.32. Arcsin Z1 ± Arcsin Zs =
- Arcsin Ы\ - zD1'3 ± Z3O -
4.4.33. Arccos Z1 ± Areeos Zi =
= Arccos [Z1Zi T [(1 - 4) (I -
4.4.34. Aretg Z1 ± Aretg Z2 —
= Arcgf^).
U T z,zJ
4.4.35. Arcsin Zi ± Arccos za ~
= Arcsin {ZiZu = [(1 - г?) (1 - 2І)]1'3} = - Arceos [za(l - z\)4' T Z1U - ZD1'*].
4.4.36. Arctg Zi ± Arectg Za =
- Arctg I ) = Areet8 [ .
V Za т Z1 ) Xz1S2 =F IJ
Действительная л мнимая насти обратных тригонометрических функций
4.4.37. Arcsin z = кп + (—I)*7 aresin ? +
+ (—1)® Ив [a -f (а3 — 1)|/а].
4.4.38. Arccos z »
- 2kit ± {arccos ? - І In [а + (а? - l)1/aj}.
Z3 Zb Z1
4.4.42. arctg Z = z--+---+...
3 5 7
(I z| ^ 1, Z1 Ф -1).
arctg z « ~ - I + -L _ -L + ... (I z| > 1, zV -1), 2 z 3za 5 Zi
z T1 , 2 zg 2-4 { za 12 ¦] . aretg z. _ [, + - _ + _ - |__j + ... j
(Z® !» -1).
Разложения в непрерывную дробь
(z принадлежит плоскости с разрезом, изображенным на рис. 4.4)
4.4.39.
Aretg z — к-к -f- — aretg Г----) +
2 У I - X2 - у2 J
+ itar?LtOL±iq (zaф —о, 4 Ua 4- (у — l)aJ
где к — целое или нуль и
а - І [(і + 1)' + /]"а + - И* - Da + /]"", 2 2
р - і К* + 1)" + /]1'* - - К* - Us + Л1"-2 г
Разложения в степенной ряд
Z8 1 • 3zfi
4.4.40. arcsin z=z+--(*--1-
2-3 2-4>5
+-Ll^L+ „ (и<1).
4.4.41. arcsin <.3 — z) «
-tv ii + v : -Л
L Ы 2«(2/С + 1)А! J
(|z| < 2).
z_ __9z'^ 16z*
1+ 3+ 5+ 7+ 94- "" arcsin z z 1 ¦ 2z! 1 • 2z! 3 ¦ 4z8 3 • 4za
