Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
XC1^1(X)1 10D;
/(х) = — si(x) cos X + Ci(x) sin x, g(x) = — si(x) sin X — Ci(x) cos x, Xj = 0.1(-0.005)0.
Таблица 5.3. Интегральный синус и иптегральный косинус аргумента та (0 < х <
<10).......................................................... 69
Si(Ttx), Cin(Ttx), ж ¦= 0(0.1) 10, 7D.
Таблица 5.4. Интегральная показательная функция Fiiix) (0 < х ^ 2) .......... 70
E2(X) - X lux, Ep(X), п = 3, 4, 10, 20, х = 0(0.01) 0.5, Ек(х), п - 2, 3, 4, 10, 20, X - 0.5(0.01) 2, 7D.
Таблица 5.5. Интегральная показательная функция Еп(х) при больших значениях
аргумента (2 < х =S со) ........................................ 73
(х + л) е*Ея(х), п = 2, 3, 4, 10, 20, х-1 = 0.5(-0.05) 0.1(-0.01) О, 5D.
Таблица 5.6. Интегральная показательная функция комплексного аргумента
(I z I < 29)...................................................... 74
ZeeE1(Z), z = x + ly, X =-19(1)20, ^ = 0(1) 20, 6D.
Таблица 5.7. Интегральная показательная функция при малых значениях комплексного аргумента (I z | < 5) .................................. 76
CeE1(Z), z = x+ iy, X= -4(0.5) - 2, у = 0(0.2) 1, 6D; E1(Z) + In г, Z = X + iy, X - -2(0.5) 2.5, у = 0(0.2) 1, 6D. Литература .................................................................... 77 56
5, ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
5.1. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ 5.1.9. р,(г) =
Определения -dt (I arg г I < it).
5.1.1. Edz)= J ^ ^
СО X
5.1.2. Ei(X)=-Vp ^ — Л-vp J j dl (х > 0).
X
5.1.3. li(x) = vp ( — = Ei(ln x) (x > 1).
Jln t о
5.1.4. Ett(Z) = J А (я = 0, 1, 2,...; Re z > 0).
і
5.1.5. a„(z)= J ("с-®' Л (и = 0, Ij 2, Re г > 0).
г
5.1.6. ?*(z)= { tne~ztdt (и = 0, 1,2,...).
-і
В 5.1.1 предполагается, что путь интегрирования пе проходит через начало координат и не пересекает отрицательную часть действительной оси.
Аналитическое продолжение функций 5.1.1, 5.1.2 и функции 5.1.4 при п >0 дает многозначные функции с точками ветвления г = О и г = со *). Эти функции однозначны в плоскости z, разрезанной вдоль отрицательной части действительной оси **). Интегральный логарифм Ii(Z) имеет, кроме того, дополнительную точку ветвления Z = I.
Функциональные соотношения
5.1.7. Ei(~x ± /0) = -Ei(x) T
- Ei(x) - - j Ш -X + Я) + jy -X - Щ (х > 0).
Явные выражения для On(Z) и ?,.(z)
5.1.8. «.(z) = n! z-'-'e-'l 1 + г +
21
'S)"
*) Некоторые авторы ([5.14], [5.16]) используют в
качестве основной функции целую функцию ^(1 — e-^dtjt,
о
обозначая ее Em(z). Имеет место соотношение Ein(z) - Ex(Z) + In z + r-
'*) Некоторые авторы определяют интеграл
j (е'/г)Л
в плоскости Z, разрезанной вдоль положительной части действительной оси, оставляя то же обозначение Ei(z). В этом случае для z — х > 0 главное значение интеграла обозначается через Ш(х) [5.10], [5.25], ?"*(х) [5.2], Ei*(x) [5.6]. E1(X) часто обозначается через Ei(—х).
...+(-I).-
Рис. 5.1. > = Ші(х) и у Еі(х).
ю оя
OJ OA 0.2 О
о.г на 0.5 as to 1.2 іл is х Ряс. 5.2. у - F,(x); п - О, I, 2, 3, 5, 10.
OS 1.0 15 2.0 2. 5 5.0 IS Рис. 5.3. у = «.М; и - 0(1) 6. 5.1. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
57
Ряс. 5.4. у = п = 0, 1, 2, 5, JO, 15 Разложения в ряд
(Y = 0.5772156649 ... — постоянная Эйлера).
5.1.10. EiW -Y + In * + T^ — (*>0).
H^inn'
5.1.11. E1(Z) - -Y - In z - (Iargzl < тг).
5.1.12. E,(z) - [-In г + ф(п)] -
(п-т
Г/
(-г)"
-q (т — и + 1) т!
(Iarg г I < it),
ф(1) _ -Y, ф(и) - -Y + У) - (и > 1).
w^Tl т
Соотношение симметрия
5.1.13. Е.Є) - Sca
Рекуррентные соотношения (л — It 2, 3, ...)
5.1.14. .Em(Z)= І [е-= - ZS1(Z)].
п
5.1.15. г«,(г) = с-' + ла„-і(г).
5.1.16. z?„(z) - (-DV - е-' 4- n?„-j(z). llcpiiBMicTDa (см. [5.8], [5.4]) (х > 0; я = 1, 2, 3,...)
5.1.17. En(X) < ЕМ1(х) < Е,(х). п
5.1.18. Е1(х) < E^1(X)Em(X).
5.1.19. —!— < е*Д,(х) <-!--
X + п X + П — 1
5.1.20. I in Jl + І J < е'Е^х) < in Jl + IJ .
Zn(X) ] .
г»-,(х)J '
Разложение и непрерывную дробь
E„(z) - J-
¦< ( 1 " 1 я + 1 2
Z+1+Z+ 1 + Z + I
(I arg z I < п)
Частные значения
1
5.1.23. E7i(O) - —:— (п > 1). п — 1
5.1.24. ?,(Z) = — •
z
5.1.25. a„(z) — , |3o(z) = — sh z.
Z Z
Производные (п — 1, 2, 3, ...)
5.1.26. ^ML--Em(Z).
dz
5.1.27. ^ VBM -^l t-1^-')'-
dz» dz z"
Определенные и неопределенные интегралы
Более подробную таблицу интегралов можно найти в [5.3], [5.6], [5.11], [5.12], [5.13]. Интегралы, содержащие Еп(х), см. в [5.9].
5.1.28. С dt - CmE1(QV). JbM
о
5.1.29. I —-Л = е-и'Е,(-Ш (а> 0, Ь> 0).
JS-M
- е<" dl - е'^Е^аЬ) (а > 0, Ь > 0).
'Jf-U 1 +>
5.1.31. С JJ
3 <¦•
о
Г е-*' — е-е( b
5.1.32. [--—it-In--
J I а
о
5.1.33. J ??(<)Л - 2 In 2. о
5.1.34. ^ <r°>Ea(t)dt = о
(-1)*-1 Г.- /.,-¦.. V^t-D1O1I
(о > О, Ь > 0).
58
5.1. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ 58
С е" sm Ы dt = Ti - arctg- + ImЕг(-а -f ІЬ) J t а
(а > О, Ъ > 0).
і
Ґ e~at sm Ы . . Ь . т г* / . .14 V--л — arctg--h Im ib)
