Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
- 11.17938 023х + 9.05265 5259 = 0.
Разложение на два квадратных множителя
(Xs + PiX + 4і) (v + PiX + qt)
с помощью обратной интерполяции
Начиная с пробного значения Q1 = 1, последовательно вычисляем
11 ''-"if '¦-т^г P1 = я3 - P1 AM ¦= 17, + + -н PjPi - в,
1 9.053 -1.093 -1.284 5.383
2 4.526 —2.543 0.16S 0.032
2.2 4.115 -3.106 0.729 -2.023
Ищем то значение .уі для которою .!(у,) 0. Обратная интерполяция значении )(//,) даеі j(.V1 і W 0 при Ij1 я: 2.003, Теперь
Яі г. Pi
2.003 4.520 J -2.550 0.172 0.011
Обратная интерполяция между = 2.2 и ^1 = 2.003 дает Q1 = 2.0041 и, таким образом,
ч, Pi P1 Ля,)
2.0041 2.0042 2.0043 4.51706 7640 4.51684 2260 4.51661 6903 -2.55259 257 -2.55282 851 -2.55306 447 0.17506 765 0.17530 358 0.17553 955 0.00078 552 0.00001 655 -0.00075 263
Обратная интерполяция дает ?! = 2.004202152. Окончательно получаем
«і ч. р, P1 уШ
2.00420 2152 4.51683 7410 -2.55283 358 0.17530 8659 -О.ООООО 0011 31
3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Умножение u деление с удвоенной точностью на настольной вычислительной машине
Пример 5. Умножить M = 20243 97459 71664 32102 на т = 69732 82428 43662 95023 на настольной счетной машине 10 X 10 X 20.
Пусть M0 = 20243 97459, M1 = 71664 32102, W0 = = 69732 82428., Tn1 = 43662 95023. Тогда
Mm = M0Inn IO20 + (М0/щ 4- Mima) JOlu + MlHt1.
1) Вычислим Af1In1 - 31290 75681 96300 28346 и запишем цифры 96300 28346, находящиеся в разрядах с 1-го по 10-й счетчика произведений.
2) Перенесем цифры 31290 75681 из разрядов 11—20 счетчика произведений в разряды 1—10.
3) Вычислим Af1W0 H- M0Zn1 31290 75681 =
= 58812 6716012663 25894 и запишем цифры 12663 25894 из разрядов 1—10.
4) Перенесем цифры 58812 67160 из разрядов 11—20 в разряды 1 —10.
5) Вычислим Af0m0 + 58812 67160 —
— 141J 6 69523 40138 17612.
Ниже показано, как получается результат
96300 2S346
12663 25894
14116 69523 40138 І76І2_
14116 69523 40138 17612 12663 25894 96300 28346
Если мы хотим получить произведение Mm с 20 знаками, то нужно записать лишь результат, полученный на пятом шаге. Далее, если допустимая ошибка равпа единице 20-го разряда, то операция Мгтх может быть опущена Если M или т содержат менее 20 цифр, удобно располагать их так, как если бы они имели по 20 цифр. Этот процесс умножения может быть распространен на любую требуемую точность.
Пример б. Разделить N = 14116 69523 40138 17612 на d - 20243 97459 71664 32102.
Первый метод — линейная интерполяция.
JV/20243 97459-1010 = 0.69732 82430 90519 39054 .W/20243 97460- 10lu = 0.69732 82427 46057 26941 Разность = _ 3 44462 12113
Разность X 0.71664 32102 - 24685 644028 • W"20 (отметим, что здесь выполняется умножение 11-10 разрядов). Частное равно
(69732 82430 90519 39054 - 246856 44028 ) • 10"20 =
= 0.69732 82428 43662 95026.
Ошибка в 3 единицы 20-го разряда получилась за счет того, что была отброшена вторая разность.
Второй метод. Если N и 4 — числа, каждое из которых содержит не более 19 пифр, то положим N — ,V1 + + iV0 • 10°, d = dj, + d0 • VO4, где .V0 и ^Осодержат uu 10 цифр, a JV1 и не больше, чем по 9 цифр. Тогда
^ e ArQ ¦ Ю" + N1 ^ 1 Гу __ JV0J1I
d </fl- 10э + dx ~ do- IO9L do J'
Здесь
N = 14116 69523 40138 І761, d = 20243 97459 71664 3210, Nq = 14116 69523, do = 20243 97459, di = 71664 3210.
1) Nodi = 10116 63378 42188 8830 (счетчик произведений).
2) (Nod1)Id0 = 49973 55504 (счетчик частных).
І) N- (JV1)Af0 =1 14116 69522 90164 62106 (счетчик произведений).
4) [Л7 - (Nod1)Id0Vd0 • 10s = 0.69732 82428 - первые 10 цифр частного на счетчикс частных. Остаток, равный 08839 1 1 654, располагается в счетчике произведений в разрядах с 1-го по 10-й.
5) r,'(do • IO9) = 0.43662 9502 • 10-50 - следующие 9 цифр частного. N'ld = 0.69732 82428 43662 9502.
Эгот метод может быть модифицирован так, чтобы дать частное с 20 значащими цифрами.
Первый метод с помощью интерполяции высокого порядка может быть распространен на деление чисел, содержащих более 20 цифр.
Пример 7. Просуммировать ряд =I —- + -—
2 з
—--1-... с 5 десятичными знаками, используя преоб-
разование Эйлера. Сумма первых 8 членов с точностью 6D равна 0.634524. Обозначив и» = 1/я, имеем
- Ди. AVn A1ua A1Hn
9 0.111111
—11111
10 0.100000 2020
— 9091 -505
11 0.090909 1515 156
— 7576 -349
12 0,083333 1166
- 6410
13 0.076923
Из 3.6.27 получим
я = 0.634524 + - "'01111Jl + Ш™ _
2 V 2»
(-0.000505) 0.000156 _ 2« + 2« = 0.634524 + 0.055556 + 0.002778 + 0.000253 +
+ 0.000032 + 0.000005 = = 0.693148
(S - In 2 = 0.6931472 с 7D). Пример 8. Вычислить интеграл
Г sin X , тс
Jx 2
о
с точностью 4D, используя преобразование Эйлера: ео ^ {й+1)п
Г sin X , *-» Г sin X ,
\—-dx = T, -^rdx =
J х ft=0 J х
0 Ais
= А Г sin (Ы + о dt _ " (_,Jjmi_ aL
t=°i кк + t Ы JiTC + ( ЛИТЕРАТУРА
31
Вычисляя интегралы в последней сумме при помощи численного интегрирования, получаем
