Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
3.9.2. Пусть x1, х2, xs, .. — бесконечная последовательность приближений к числу Тогда, если
U«+i - Ъ\ < A U« - Si* (п=1, 2, ...),
где А и к не зависят от п, то говорят, что последовательность имеет сходимость по крайней мерс к-й степени (или порядка) к числу При к = I и А < 1 сходимость линейна, при к — 2 квадратична.
Правило ложного положения
3.9.3. Пусть дана функция у — f(x). Для того чтобы найти при котором /(Q — 0, нужно выбрать такие x0 и x1, чтобы /(x0) и/(x1) имели разные зітаки, и вычислить
(Xi-Xo) /іХр - /0X1
Затем нужно проделать ту же операцию с х2 и с тем из чисел xn и хъ для которого/Ct0) или /(x1) имеет зпак, противоположный знаку JXx2). Правило ложного положения эквивалентно обратной линейной интерполяции.
Метод Итера ций
3.9.4. Итерационная схема *fc+J — F(xn) сходится к корню уравнения X = F(x), если
(1) I F'(x) I ^q <1 для а < X < Ъ,
(2) а < X0 ± 1 F(Xo)~ Хо L < Ь. 28
3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
-yA:+! =
-VA — -
Метод последовакмьпых приближении Пыотопа
3.9.5. Если X = .Vfc — приближенные значення решения X = t уравнения /(.г) = O1 то последовательность
Яд) /Хч)
сходится квадратично к х = При этом имеет место:
(1) монотонная сходимость, если _/(.гГ|) f"(.\0) >0 и /'(v), f Ca) не меняют знака в интервале (\0, Ї), или
(2) OCifii і iiinopiiaч сходимость, если /(х0) /"(.г„) < 0 И fix), f"(x) не меняют знака п интервале Cr0, X1), X0 <
< X1.
Применение метода Ныотона к пычис пению дсисгви і с ііьної о корил /(-H с і 'ЛІСПИ
3.9.6. Пусть дано уравнение хп = N. Если хк — приближенное значение X == Nlfnt то последовательность
Хк+1
квадратично сходится
= і Г N п Lxr1
+ (п - Dxfc
При п = 2
при п = 3
1 (* ^ 1 3^-T Ii + 3tT
+Ч'
82-метод Эйткена ускорения сходимости
3.9.7. Если Xft, Xfc-i-!, xfc+a — три последовательные итерации в последовательности приближений к истинному значению Xt и известно, что последовательность сходится примерно как геометрическая прогрессия, то
= Xfc —
Д 2Xfc
(Х/е — Xfc+t)
A2Xk
Xk — 2X1(4! + Xt+a,
XkX к+2 ~ Xk ц
A2Xb
является более точным приближением к х. Действительно,
если Xll=-X + O(Xfc), то х = х + O(Xfe), | \ | < 1.
3.10. ТЕОРЕМЫ О НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЯХ
Определения
3.10.Ї. (1) Пусть
/=Ьо +
&1 + Яз
Ь% + Q8
/ =
Ь° + Ъг + Ъ% + Ъг +
Если число членов конечно, то / называется конечной непрерывной дробью. Если число членов бесконечно, то / называется бесконечной непрерывной дробью, а конечная дробь
/.-4. .^ + -"i-.f!......?•
в, h + І! + Ь„
— п-й подходящей дробью для /.
An
(2) Если Ijm — существует, то бесконечная непрерывная дробь называется сходящейся. Если ai ~ J и bi — целые числа, то непрерывная дробь всегда сходится.
Тспречы
(1) Если at a bi положительны, то /яи < /ая!2, /гп-і >
Aw і-
(2) Если/, = — , то
S»
An — bnAnl -f апАп-2,
Bn = ЬпВп-! {- Ct1Sn а, где /L1 — I, Ло - І0, = 0, Sa = 1.
0)1
)ГЛ»-| ГЛ,-! л„-2-| г S11-J
UJ LSb.! Ли J LaJ'
(4) AtB^l - Ап-Л - (-1)«-! П а*.
A=I
(5) Для любого й > О И любых Ci ф 0, 1=1,2, ..., о,
CiOi CiCssOs СеСяая Сп~\Спая
/п - bo + -
Cibi + C2 ba + Csb 3 +
(6) 1 + b, + W>J + ... + ft,ia... 6» ="
_J__ ft,______
1 - ft! + 1 - fta + 1 — . 1 . . 1 1
Cnbn
Ul
J_
Oo
Ut
Uu
Uj
Ul- Ui + Ug-
-b, + 1 "8-і
+... + (-1). —±—. OoOiaa ДоОїйя... an
Oo + fll — X + O2 — X +
+Oa-
г> au аз
Рис. 3.1. у = Xя; ±11 =
72 IS гл
О, 1/5, 1/2, 1, 2, 5. ПРИМЕРЫ
29
ПРИМЕРЫ
Пример 1. Решить квадратное уравнение х- — — 18.2л: + 0.056 = 0 при условии, что коэффициенты равны 18.2 ± 0.1 и 0.056 :J: 0.001. Из 3.8.1 следует, что
X1., = - (18.2 ± [(18.2)2 - 4(0.056)]1/а) = 2
= і (18.2 -fc [33L016]"S) = і (18.2 ± 18.1939);
X1 = 18.1969, х, - 0.003. Меньший корень можно получить точнее:
0.056/18.1969 = 0.0031 ± 0.0001.
Пример 2. Вычислить (-3 + 0.0076 О1'2. По формуле 3.7.26 имеем (-3 +0 0076 i)1" = U + Iv, где
„„i, V=I^iJ"', г = (Xа + у'У".
Таким образом,
C= f(—3)а + (0.0076)3]1'2 = (9.00005776)1 '2 = 3.00000 9627, .. Г3.00000 9627 -(-3)11'2 _ . .„„
У_ . 2v '
0.0076
2(1.73205 2196)
• 0.00219 392926.
Отметим, что вычислено главное значение квадратного корня.
Пример 3. Решить кубическое уравнение х3 — — 18.ІХ — 34,8 = 0. Для того чтобы применить метод Ньютона, сначала составим таблицу значений многочлена /(х) = X3 - 18.1А- - 34.8:
X /М
4 - 43.2
5 - 0.3
6 72.6
7 181.5
С помощью обратной линейной интерполяции получаем О - (-0.3)
X0
¦ 5 +
72.6 - (-0.3)
. 5.004.
Метод Ньютона при/'(х) — Зха — 18.1 дает
Xi « Xo —/(xo)/7v(xo) ~
57.020048
Вычислим также следующее приближение, которое будет PaRHO 5.00526 5097. Далее, рлзлелии Дх) пах — 5.00526 5097, получаем квадратный многочлен X1 + 5.00526 5097 х + + 6.95267 869, цули которого равны -2.50263 2549 ± ± 0 83036 S00 І.
Пример 4. Решить уравнение четвертой степени
х* - 2.37752 4922 я3 + 6.07350 5741 Xа -
