Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Абрамович М. -> "Справочник по специальным функциям" -> 15

Справочник по специальным функциям - Абрамович М.

Абрамович М. Справочник по специальным функциям — М.: Наука, 1979. — 832 c.
Скачать (прямая ссылка): spravochnikpospecialnimfunkciyam1979.pdf
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 480 >> Следующая

3.9.2. Пусть x1, х2, xs, .. — бесконечная последовательность приближений к числу Тогда, если

U«+i - Ъ\ < A U« - Si* (п=1, 2, ...),

где А и к не зависят от п, то говорят, что последовательность имеет сходимость по крайней мерс к-й степени (или порядка) к числу При к = I и А < 1 сходимость линейна, при к — 2 квадратична.

Правило ложного положения

3.9.3. Пусть дана функция у — f(x). Для того чтобы найти при котором /(Q — 0, нужно выбрать такие x0 и x1, чтобы /(x0) и/(x1) имели разные зітаки, и вычислить

(Xi-Xo) /іХр - /0X1

Затем нужно проделать ту же операцию с х2 и с тем из чисел xn и хъ для которого/Ct0) или /(x1) имеет зпак, противоположный знаку JXx2). Правило ложного положения эквивалентно обратной линейной интерполяции.

Метод Итера ций

3.9.4. Итерационная схема *fc+J — F(xn) сходится к корню уравнения X = F(x), если

(1) I F'(x) I ^q <1 для а < X < Ъ,

(2) а < X0 ± 1 F(Xo)~ Хо L < Ь. 28

3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

-yA:+! =

-VA — -

Метод последовакмьпых приближении Пыотопа

3.9.5. Если X = .Vfc — приближенные значення решения X = t уравнения /(.г) = O1 то последовательность

Яд) /Хч)

сходится квадратично к х = При этом имеет место:

(1) монотонная сходимость, если _/(.гГ|) f"(.\0) >0 и /'(v), f Ca) не меняют знака в интервале (\0, Ї), или

(2) OCifii і iiinopiiaч сходимость, если /(х0) /"(.г„) < 0 И fix), f"(x) не меняют знака п интервале Cr0, X1), X0 <

< X1.

Применение метода Ныотона к пычис пению дсисгви і с ііьної о корил /(-H с і 'ЛІСПИ

3.9.6. Пусть дано уравнение хп = N. Если хк — приближенное значение X == Nlfnt то последовательность

Хк+1

квадратично сходится

= і Г N п Lxr1

+ (п - Dxfc

При п = 2

при п = 3

1 (* ^ 1 3^-T Ii + 3tT

+Ч'

82-метод Эйткена ускорения сходимости

3.9.7. Если Xft, Xfc-i-!, xfc+a — три последовательные итерации в последовательности приближений к истинному значению Xt и известно, что последовательность сходится примерно как геометрическая прогрессия, то

= Xfc —

Д 2Xfc

(Х/е — Xfc+t)

A2Xk

Xk — 2X1(4! + Xt+a,

XkX к+2 ~ Xk ц

A2Xb

является более точным приближением к х. Действительно,

если Xll=-X + O(Xfc), то х = х + O(Xfe), | \ | < 1.

3.10. ТЕОРЕМЫ О НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЯХ

Определения

3.10.Ї. (1) Пусть

/=Ьо +

&1 + Яз

Ь% + Q8

/ =

Ь° + Ъг + Ъ% + Ъг +

Если число членов конечно, то / называется конечной непрерывной дробью. Если число членов бесконечно, то / называется бесконечной непрерывной дробью, а конечная дробь

/.-4. .^ + -"i-.f!......?•

в, h + І! + Ь„

— п-й подходящей дробью для /.

An

(2) Если Ijm — существует, то бесконечная непрерывная дробь называется сходящейся. Если ai ~ J и bi — целые числа, то непрерывная дробь всегда сходится.

Тспречы

(1) Если at a bi положительны, то /яи < /ая!2, /гп-і >

Aw і-

(2) Если/, = — , то



An — bnAnl -f апАп-2,

Bn = ЬпВп-! {- Ct1Sn а, где /L1 — I, Ло - І0, = 0, Sa = 1.

0)1

)ГЛ»-| ГЛ,-! л„-2-| г S11-J

UJ LSb.! Ли J LaJ'

(4) AtB^l - Ап-Л - (-1)«-! П а*.

A=I

(5) Для любого й > О И любых Ci ф 0, 1=1,2, ..., о,

CiOi CiCssOs СеСяая Сп~\Спая

/п - bo + -

Cibi + C2 ba + Csb 3 +

(6) 1 + b, + W>J + ... + ft,ia... 6» ="

_J__ ft,______

1 - ft! + 1 - fta + 1 — . 1 . . 1 1

Cnbn

Ul

J_

Oo

Ut

Uu

Uj

Ul- Ui + Ug-

-b, + 1 "8-і

+... + (-1). —±—. OoOiaa ДоОїйя... an

Oo + fll — X + O2 — X +

+Oa-

г> au аз

Рис. 3.1. у = Xя; ±11 =

72 IS гл

О, 1/5, 1/2, 1, 2, 5. ПРИМЕРЫ

29

ПРИМЕРЫ

Пример 1. Решить квадратное уравнение х- — — 18.2л: + 0.056 = 0 при условии, что коэффициенты равны 18.2 ± 0.1 и 0.056 :J: 0.001. Из 3.8.1 следует, что

X1., = - (18.2 ± [(18.2)2 - 4(0.056)]1/а) = 2

= і (18.2 -fc [33L016]"S) = і (18.2 ± 18.1939);

X1 = 18.1969, х, - 0.003. Меньший корень можно получить точнее:

0.056/18.1969 = 0.0031 ± 0.0001.

Пример 2. Вычислить (-3 + 0.0076 О1'2. По формуле 3.7.26 имеем (-3 +0 0076 i)1" = U + Iv, где

„„i, V=I^iJ"', г = (Xа + у'У".

Таким образом,

C= f(—3)а + (0.0076)3]1'2 = (9.00005776)1 '2 = 3.00000 9627, .. Г3.00000 9627 -(-3)11'2 _ . .„„

У_ . 2v '

0.0076

2(1.73205 2196)

• 0.00219 392926.

Отметим, что вычислено главное значение квадратного корня.

Пример 3. Решить кубическое уравнение х3 — — 18.ІХ — 34,8 = 0. Для того чтобы применить метод Ньютона, сначала составим таблицу значений многочлена /(х) = X3 - 18.1А- - 34.8:

X /М

4 - 43.2

5 - 0.3

6 72.6

7 181.5

С помощью обратной линейной интерполяции получаем О - (-0.3)

X0

¦ 5 +

72.6 - (-0.3)

. 5.004.

Метод Ньютона при/'(х) — Зха — 18.1 дает

Xi « Xo —/(xo)/7v(xo) ~

57.020048

Вычислим также следующее приближение, которое будет PaRHO 5.00526 5097. Далее, рлзлелии Дх) пах — 5.00526 5097, получаем квадратный многочлен X1 + 5.00526 5097 х + + 6.95267 869, цули которого равны -2.50263 2549 ± ± 0 83036 S00 І.

Пример 4. Решить уравнение четвертой степени

х* - 2.37752 4922 я3 + 6.07350 5741 Xа -
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 480 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed