Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
Ji/wi*dx +KigW .
Равенство выполняется, когда ?(*) = cf(x) (с — положи-тельная постоянная)
3.3. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Проилводкые
3.3.1. — (см) = с — (с — постоянная) dx dx
* d , , . du , dx
3.3.2. — (« + v) ---f- — •
dx dx dx
1 ¦> і d S л t^v , du
3.3.3. — (mv) = u--j-v — •
dx dx dx
3.3.4.
dx\v J I dx dx)j
3.3.5.
dx dv dx
3.3.6. -і(„.) = „.Глії + 1п
dx \ и dx dx J
Теорема Лейбница о дифференцировании интеграла
т
Ij fix, с) dx =
С ±f(x,c)dx+f(.b,e)^-na,c)^ J Sc de de
«М
Теорема Лейбница о дифференцировании произведения
3.3.8. - (uv) = -V + I I-•— +
dx* dx« IlJ dx*-1 dx
; fiiW"-*!! d'v ] [ MiI1-tIi іlrv
12 J dx'-' dx" "' IrJit"-' <far "'
m
3.3.10.
3.3.11.
d]> <Px df <Px
dxa UjiJ
,.3.1,.
rf/ Lrfxs UW Ju* J
Интегрирование по частям
3.3.12, ^ и dv = Iiv — ^ V du.
3.3.13. J uv dx = J^ и ,faj v - J и dxj ~ dx.
Неопределенные интегралы от рациональных алгебраических функций
(постоянные интегрирования опущены)
3.3.14. I (ах + Ь)" dx ¦¦
3.3.15. C-J "
iSL+ifl
а{п + 1) - In \ах +4|.
Для вычисления интегралов і
J (ах*.
Р(х) dx
+ Ъх 4- с)'
где Р(х) — многочлен И Я > 1 — целое, полезны СЛСДуГОЩИе формулы:
(.16. с
1 і
- arctg
2а* + Ь
(4ас - Ijt)1" (4ас - ЬУ" dx
(4' — 4ас < 0).
>.17. С
J ах> +
Ьх + с
I Iax+ Ь- (4' - 4нс)1" I
3.3.18. ^
(4' - 4ае)"' I 2ах + Ь + (42 - 4ЯС)1'2 |
(4і - 4ос > 0).
(4' - 4ис - 0).
ах2 + Ьх + с 2ах H- 4
dx
Г ^
J ах' + I
¦¦ — In I а*а 4- Ьх + с] - — С 2 а 2 a J
O^2 + Ьх 4- с
3.20. (j
(а + Ъх) (с + dx) ad — be \ а -Ь Ьх \
(iad ф Ъ?). 23 3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
3.3.21.
3.3.22.
3.3.23.
3.3.24.
(dx 1 Ьх
V---= — arctg —
J аЧ 42х2 ab а
\
I a' + b'x'
X dx
a' + b'x*
dx
a' - b'x'
dx
. — In Uj+ bVl.
b'x' 2ab I а - Ьх
— — arctg--1-
' + а')г 2а" Г dx _ J (*! - оа)а ~~
о 2eV + і"')
1 , I о + ж I
+ —In ¦
2а V - а') 4а' \а-х
Неопределенные интегралы от иррациональных алгебраических функций
dx
3.3.27. ^
)Ua + bx)(c + dx)Y"
= 2 arctg Mb + ^ Г
C-M)1" I 4(c + <fct) J dx
(bd < 0).
I l(a+bx)(c + dx)]1'*
-1 . ( 24 dx + ad + be "1 ,, . . „. -arcsin I - --I (4>0, d<0).
-bd)"• I be-ad I
dx
3.3.28. J
(bd)1"
[(a + bx) (c + dx)]"'
In I [bd(a + bx)l"s + Цс + dx)1" I (bd > 0).
dx
J (a + bx)1" (c + dx)
ld(bc—ad)P"
arctg
\d(a + bx)V" Ube-ad)}
(d(ad - be) < 0),
dx
1 (a + bx)1" (c + dx)
- In
d(a + ЬхУ" — Idjad - 4c)]1" |
ld(ad - 4c)]1'« I d(a + bx)1" + [d(ad - 4c)]1'2 |
(d(ad — be) > 0).
3.3.31. ^ [(a + bx) (c + ЛЯ1'« dx -(ad - 4c) + 2b(c + dx)
4bd
-Ka + bx) (e + dx)]1" -
(ad — be)' Г_dx__
Ш J [(o + Ьх) (c + dx)]1"
3.3.32. ( dx-- [(a + bx) (c + dx)]1"
J L a + bx J 4
(ad - be)
dx
2b Jt(a + bx) (c + dx)]'"
3.3.33.
dx
I (ax' + bx + c)1" - a'1" In I 2a1"(ax2 + bx + e)'" + 2ax + 41 (a > 0). dx
3.3.34.
(ax' + bx + c)1" . .(2^ + 4)
(a > 0, 4ae > b").
15. C
J (ax' + bx + c)1"
(4oc - 4а)1"
dx <г1"Ы]2ах + Ь\
(a > 0, 4' = 4ac).
dx
, , . (2 ax + 6)
— ( —a)"1/a arcsm----
Kax' + bx + c)1" (4s - 4oc)1/a
(a <0, b>> 4ae, | 2ax + Ь ] < (4а - 4ас)"'),
3.3.37. f(<Ka + bx + c)indx = —'-^-(ax'+bx+e)1" + J 4 a
, 4йс — 42 f -^v
3.3.38.
^--- --(
J x(ax' + bx + cf" J
8« J (ox2 + 4a- + с)" dt
(a + bt + cf)1"
1
где t
X
3.3.39.
- - (ax? + bx + c)1'2 -
dx
(ax1 + bx + с)1" a 4
2a J (ox2 + bx + c)1'" In 11 + (ха ± a')1" |.
3.3.40. C-d-x—
)(x'±a')"'
3.3.41. ^ (x% ± OaFVi -= і (xs ± Oa)1'2 ±
±-jto U + (x2 ± oa)1/a|.
3.42. ^
3.43. ^
dx
x(x? + a')1"
3.3.44.
x(xz - a')1" a dx
= — arccos
) (a' - Xі)1" 3.3.45. j (a' - x*)1" dx =
-(oa-xa)1'2 + - arcsin 2 2 a 3.5. АБСОЛЮТНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ОШИБКИ
23
M
3.3.47.
dx
х(а* - Xа)1» '
dx
1 . I a + Ufi - X2)"
! І2ах - х')11' 3.3.48. J (lax - X»)"» dx X — а
(2ах - х3)1" + - arcsin ¦ 2 2
3.3.49. j
(ах» + і) (сх3 + df"
xifld - ЬсУ"
arctg — - (ad > be).
IKad - Ьс)р" IUcxt + d)f"
Г dx
J (аха + Ь) (сха + d)1"
" 2[6(6с - od)]1" " I + d)Y" - х(Ъе - ad.fn \ (be > ad).
3.4. ПРЕДЕЛЫ, МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ
Раскры то неопределенностей (правило Лопиталя)
3.4.1. Пусть s полуинтервале a х < b функции /(х) и g(x) днффзрзнцируему и g'(x) ф 0. Пусть
Iim /(х) - 0 и Iim g(x) = О
Iim /(х) =. оо и Iim g(x) = оо. х-*Ъ~ х->-Ъ-
Тогда. если
hm то lim &L - /
(Ь ъ I могут обращаться в оо).
Максимумы и минимумы
3.4.2. (1) Функции одной переменной. Функция у — fix) в точке X = -V0 имеет максимум, если/'Оу) = 0 и f"(xn) < 0, в имеет минимум, если f'(Xfl) = 0 и f "(Xfl) > 0. Точки JV0, и которых f'(x0) = 0, называются стационарными.
3.4.3. (2) Функции двух переменных. Функция /(*, у) : точке (лг0, Уо) имеет максимум или минимум, если
