Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Абрамович М. -> "Справочник по специальным функциям" -> 12

Справочник по специальным функциям - Абрамович М.

Абрамович М. Справочник по специальным функциям — М.: Наука, 1979. — 832 c.
Скачать (прямая ссылка): spravochnikpospecialnimfunkciyam1979.pdf
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 480 >> Следующая


Ji/wi*dx +KigW .

Равенство выполняется, когда ?(*) = cf(x) (с — положи-тельная постоянная)

3.3. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Проилводкые

3.3.1. — (см) = с — (с — постоянная) dx dx

* d , , . du , dx

3.3.2. — (« + v) ---f- — •

dx dx dx

1 ¦> і d S л t^v , du

3.3.3. — (mv) = u--j-v — •

dx dx dx

3.3.4.

dx\v J I dx dx)j

3.3.5.

dx dv dx

3.3.6. -і(„.) = „.Глії + 1п

dx \ и dx dx J

Теорема Лейбница о дифференцировании интеграла

т

Ij fix, с) dx =

С ±f(x,c)dx+f(.b,e)^-na,c)^ J Sc de de

«М

Теорема Лейбница о дифференцировании произведения

3.3.8. - (uv) = -V + I I-•— +

dx* dx« IlJ dx*-1 dx

; fiiW"-*!! d'v ] [ MiI1-tIi іlrv

12 J dx'-' dx" "' IrJit"-' <far "'

m

3.3.10.

3.3.11.

d]> <Px df <Px

dxa UjiJ

,.3.1,.

rf/ Lrfxs UW Ju* J

Интегрирование по частям

3.3.12, ^ и dv = Iiv — ^ V du.

3.3.13. J uv dx = J^ и ,faj v - J и dxj ~ dx.

Неопределенные интегралы от рациональных алгебраических функций

(постоянные интегрирования опущены)

3.3.14. I (ах + Ь)" dx ¦¦

3.3.15. C-J "

iSL+ifl

а{п + 1) - In \ах +4|.



Для вычисления интегралов і

J (ах*.

Р(х) dx

+ Ъх 4- с)'

где Р(х) — многочлен И Я > 1 — целое, полезны СЛСДуГОЩИе формулы:

(.16. с

1 і

- arctg

2а* + Ь

(4ас - Ijt)1" (4ас - ЬУ" dx

(4' — 4ас < 0).

>.17. С

J ах> +

Ьх + с

I Iax+ Ь- (4' - 4нс)1" I

3.3.18. ^

(4' - 4ае)"' I 2ах + Ь + (42 - 4ЯС)1'2 |

(4і - 4ос > 0).

(4' - 4ис - 0).

ах2 + Ьх + с 2ах H- 4

dx

Г ^

J ах' + I

¦¦ — In I а*а 4- Ьх + с] - — С 2 а 2 a J

O^2 + Ьх 4- с

3.20. (j

(а + Ъх) (с + dx) ad — be \ а -Ь Ьх \

(iad ф Ъ?). 23 3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

3.3.21.

3.3.22.

3.3.23.

3.3.24.

(dx 1 Ьх

V---= — arctg —

J аЧ 42х2 ab а

\

I a' + b'x'
X dx
a' + b'x*
dx
a' - b'x'
dx

. — In Uj+ bVl.

b'x' 2ab I а - Ьх

— — arctg--1-

' + а')г 2а" Г dx _ J (*! - оа)а ~~

о 2eV + і"')

1 , I о + ж I

+ —In ¦

2а V - а') 4а' \а-х

Неопределенные интегралы от иррациональных алгебраических функций

dx

3.3.27. ^

)Ua + bx)(c + dx)Y"

= 2 arctg Mb + ^ Г

C-M)1" I 4(c + <fct) J dx

(bd < 0).

I l(a+bx)(c + dx)]1'*

-1 . ( 24 dx + ad + be "1 ,, . . „. -arcsin I - --I (4>0, d<0).

-bd)"• I be-ad I

dx

3.3.28. J

(bd)1"

[(a + bx) (c + dx)]"'

In I [bd(a + bx)l"s + Цс + dx)1" I (bd > 0).

dx

J (a + bx)1" (c + dx)

ld(bc—ad)P"

arctg

\d(a + bx)V" Ube-ad)}

(d(ad - be) < 0),

dx

1 (a + bx)1" (c + dx)

- In

d(a + ЬхУ" — Idjad - 4c)]1" |

ld(ad - 4c)]1'« I d(a + bx)1" + [d(ad - 4c)]1'2 |

(d(ad — be) > 0).

3.3.31. ^ [(a + bx) (c + ЛЯ1'« dx -(ad - 4c) + 2b(c + dx)

4bd

-Ka + bx) (e + dx)]1" -

(ad — be)' Г_dx__

Ш J [(o + Ьх) (c + dx)]1"

3.3.32. ( dx-- [(a + bx) (c + dx)]1"

J L a + bx J 4

(ad - be)

dx

2b Jt(a + bx) (c + dx)]'"

3.3.33.



dx

I (ax' + bx + c)1" - a'1" In I 2a1"(ax2 + bx + e)'" + 2ax + 41 (a > 0). dx

3.3.34.

(ax' + bx + c)1" . .(2^ + 4)

(a > 0, 4ae > b").

15. C

J (ax' + bx + c)1"

(4oc - 4а)1"

dx <г1"Ы]2ах + Ь\

(a > 0, 4' = 4ac).

dx

, , . (2 ax + 6)

— ( —a)"1/a arcsm----

Kax' + bx + c)1" (4s - 4oc)1/a

(a <0, b>> 4ae, | 2ax + Ь ] < (4а - 4ас)"'),

3.3.37. f(<Ka + bx + c)indx = —'-^-(ax'+bx+e)1" + J 4 a

, 4йс — 42 f -^v

3.3.38.

^--- --(

J x(ax' + bx + cf" J

8« J (ox2 + 4a- + с)" dt

(a + bt + cf)1"

1

где t

X

3.3.39.

- - (ax? + bx + c)1'2 -

dx

(ax1 + bx + с)1" a 4

2a J (ox2 + bx + c)1'" In 11 + (ха ± a')1" |.

3.3.40. C-d-x—

)(x'±a')"'

3.3.41. ^ (x% ± OaFVi -= і (xs ± Oa)1'2 ±

±-jto U + (x2 ± oa)1/a|.

3.42. ^

3.43. ^

dx

x(x? + a')1"

3.3.44.

x(xz - a')1" a dx

= — arccos

) (a' - Xі)1" 3.3.45. j (a' - x*)1" dx =

-(oa-xa)1'2 + - arcsin 2 2 a 3.5. АБСОЛЮТНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ОШИБКИ

23

M

3.3.47.

dx

х(а* - Xа)1» '

dx

1 . I a + Ufi - X2)"

! І2ах - х')11' 3.3.48. J (lax - X»)"» dx X — а

(2ах - х3)1" + - arcsin ¦ 2 2

3.3.49. j

(ах» + і) (сх3 + df"

xifld - ЬсУ"

arctg — - (ad > be).

IKad - Ьс)р" IUcxt + d)f"

Г dx

J (аха + Ь) (сха + d)1"

" 2[6(6с - od)]1" " I + d)Y" - х(Ъе - ad.fn \ (be > ad).

3.4. ПРЕДЕЛЫ, МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ

Раскры то неопределенностей (правило Лопиталя)

3.4.1. Пусть s полуинтервале a х < b функции /(х) и g(x) днффзрзнцируему и g'(x) ф 0. Пусть

Iim /(х) - 0 и Iim g(x) = О

Iim /(х) =. оо и Iim g(x) = оо. х-*Ъ~ х->-Ъ-

Тогда. если

hm то lim &L - /

(Ь ъ I могут обращаться в оо).

Максимумы и минимумы

3.4.2. (1) Функции одной переменной. Функция у — fix) в точке X = -V0 имеет максимум, если/'Оу) = 0 и f"(xn) < 0, в имеет минимум, если f'(Xfl) = 0 и f "(Xfl) > 0. Точки JV0, и которых f'(x0) = 0, называются стационарными.

3.4.3. (2) Функции двух переменных. Функция /(*, у) : точке (лг0, Уо) имеет максимум или минимум, если

Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 480 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed