Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
= о,
JUL ??
дх ду дх*
ду3 дх ду і этом: максимум, если
<0;
т
— <0 или I <0;
Sx' *-*. 8/
У~Уа У-Уя
МИНИМУМ, ЄСЛИ
э2/|
эу І
> 0 или — >0. Sx2 Ix-xt
У —У» У = Уо
3.5. АБСОЛЮТНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ОШИБКИ
(1) Пусть — приближенное значение величины х. Тогда
3.5.1. а) Абсолютной ошибкой значення Jt0 называется разность Ax = Xtt — * — -X0 называется поправкой к х.
3.5.2. Ь) Относительной ошибкой значения дг0 назы-» Дх Дх
вается Sx — — ss — .
3.5.3. с) Ошибкой в процентах называется относительная ошибка, умноженная на 100.
3.5.4. (2) Абсолютная ошибка суммы или разности нескольких чисел не больше суммы абсолютных ошибок отдельных чисел.
3.5.5. (3) Если /(xi, х2, ...,хЛ) — функция аргументов X1, Xi, ...,хп и абсолютная ошибка значения xt 0 — 1,. ,л) есть Ахг, то абсолютная ошибка значения / при малых Axt равна
Д/* Д*1+ f Ax2 + ... + JL АХЛ.
дхг
Bxn
3.5.6. (4) Относительная ошибка произведения или частного нескольких величин не больше суммы относительных ошибок отдельных величин.
3.5.7. (5) Если у =f(x), то относительная ошибка значения у равна
у /М
Приближенные значения некоторых выражений (Ul ¦* 1, |Т)1 <1, Ь< а)
3.5.8. (я + Ь)" ми" + ka^b.
3.5.9. (1 + е)(1 + -г,) я 1 H- є + у,.
3.5.10. 1 + * »1 + 6-7). 1 + п 24
3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
3.6. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
Формула Тейлора для функции одной переменной
3.6.1. Дх + Л) - f(x) + */'(*)+ Yvr^ + "
- + Р-Г'й + «. (» - 1)!
3.6.2. Rn - —/(»)(х + 01« = и!
А»
(п - 1)!
(1 - 9г)"-»/(»)(х + в,») (0< 1,,,И< I)-
3.6.3. Rn -
к»
(я - 1)
Jd - о-1 /'">
Ofct + Ih) dt.
3.6.4. Дх) -Да) + + ...
... + ~ /(»-!)(„) + Rn.
(и-1)1
3.6.5. <1I<5<X). л!
Разложения Лагранжа Если у -Дх), ус «¦/(»), А») 5* то
3.6.6. х- *+pfcj^rui .
3.6.7. j(x) - g(x,) +
+S^IStMT^J) L-
где g(x) — произвольная бесконечно дифференцируемая функция.
Биномиальные ряды
3.6.8.(1 + ?)* = s («U (-1<*<1).
+-й
2!
3.6.10. (1 + хг1 = 1 - x + x2 - х" + x4 - ...
(-1 < x < 1).
З.6.И. (і + х)1" = і + +
2 8 16 128
7х> 2] X6 , ,
+---+ ... (-1<х<1).
256 1024
x Txa 5v3 35?4 3.6.12. (1 + х)'1" = 1 - - + — - — + -2 8 16 128
бЗх" 23Ix' 256 1024
(-1 <х < 1).
3.6.13. (1 + х)"3 = 1 + -1х--ха+-х3-3 9 81
- — x1+ — x5 - —х" + ... (~1<х<1).
243 729 6561
3.6.14. (1 + х)-1'3 - I- Ix+ -Xa--X1+ 3 9 81
, 35 , 91 s , 728 , , , ^
+ - x4--xй + -----хв — ... (— 1 < X < 1).
243 729 6561
Асимптотические разложения
3.6.15. Ряд V GftX"* называется асимптотическим раз' »-о
ложением функции f (х), если
Дх) - S aar' - CKxr') при х ^ оо
A-O
для любого п «1, 2,... В этом случае используют обозначение
Дх)~ X ПХ'". A=o
Этот ряд может сходиться или расходиться. Действия с рядами
Обозначим
Ji = 1 + aix + gaxa + (InAri + c4 x4 + ..., s2 - 1 + fax + jsxa + j3x5 + 64 x4 + ..., ss = 1 + c1x + c3x2 + c3x3 + c4 x4 + ...
Тогда имеют месго 3.6.16 — 3.6.24. З 6 БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
25
Операция С * Cl
3.6.16. 3.6.17. S3 = ^r1 Sj = JT4 — Их -2а, а'-а* 3 а\ - 2аа 2^102 — Аз — «1 6aio2 — 2а3 — 4ЙІ 2ai?3 — 3aio2 — ал + а\ + а\ 6аіа3+ ЗАІ - Ia1 - 12а\а2+5а\
3.6.18. J3 - 1 T"1 1 1 ¦ — <73--«і 2 8 1 1 L13 — а3--«los + — eg 2 4 16 1 1 I21 -A4--СіЯ з--Os + 2 4 8 , 3 г 5 « H--Ofaa--а\ 16 128
3.6.19. J8 - Л"1" 1 --O1 2 3 < 1 3 1 5 , — Oifl2--?s--01 4 2 16 3 3 і — аія3 Л--а] — — д4 — 4 8 2 15 2 , 35 ---ОІ<72 + — а\ 16 128
3.6.20. J3 — J? паї — (я — 1) Cia1 + на2 2 cia2(n — 1) + И04 + Сійа(и-1) + и(и — 1) X
3.6.21. 3.6.22. Ss — J1IJa ¦?а = Si/Sz a, + 4і йі — 6i Ьъ + Cibi + да O2 — (ftiCi + Ьг) + C1Cillin - 1) Oi — 6 — 2) + /Ttr3 Ьз + Clib2 + вг Ьг + йз а* — (bic2 + b2ci + b3) Xal+ (п-1) (и-2) Cia1A3 + + 1 („_ 1)(И- 2) (H-DclCil 24 Ьі + Яі/>з + a2b3 + я3Ьі + O4 «і—(AiC3 + Ьасг + bzc і +
3.6.23. J3 — exp(Ai - 1) "і а2 + — я? 2 as + aifla + — о® 6 а4 + fli^i + — а\ + — Wi + 2 2 24
3.6.24. 53 = 1 + ІП Ji % 1 Яг--OiCl 2 O3--- (a2ci + 2діс2) 3 я4 — — (а8сі + 2агс8 + ЗаіСз) 4
Обращение рядов
3.6.25. Пусть
у - ах + Ьх' + cV + At4 + ex' + fx' + gx' + ... Тогда
X - Ay + By' + Cys + Dyf + Ef + Fy• + Gf + ..., где
aA - 1 ifB -=-6, аъС — гьг - ас,
O1D = Sabc - a'd - 5Ь\
а'Е = 6a'bd + ЗА' + 146* - а'е - 21 аЬ'с,
a11 F = Iefbe + lifcd + 8404? - о4/ -
- 28<г6с2 - 4245 - 28a'b'd, A13G = 8 rfbf + SatCe + Ia1H1 + UOaVd +
+ 180eW + 132Ъ' - a'g - 36aVe -
- Ibfbcd - Ш?> - 330a64c.
Преобразование Куммера
3.6.26. Пусть 2 = s ~ сходящийся ряд, ? с. =
ft =O A=Q
= c — сходящийся ряд с известной суммой с и Iim — «
с,
= г # 0. Тогда
'^+Sl1-xS)"-
Преобразование Эйлера
3.6.27. Если ? С" ак = а0 — Cil + аг - ... — СХО-
ДНО
ДЯЩИЙСЯ ряд с суммой S, то 26
3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Формула суммирования Эйлера—Маклорена
3.6.28. 2/,= ( к-1 J
f(k)dk--If(O)+Л»)-
+ — Г/'М -/'(0)] - — If "'(») -/'"(0)1 +
12 720
+ —— [/"'(я) -/"'(О)]----!/""'W -
