Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Абрамович М. -> "Справочник по специальным функциям" -> 14

Справочник по специальным функциям - Абрамович М.

Абрамович М. Справочник по специальным функциям — М.: Наука, 1979. — 832 c.
Скачать (прямая ссылка): spravochnikpospecialnimfunkciyam1979.pdf
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 480 >> Следующая


30 240 1 209 600

3.7. КОМШПЖСНЬШ ЧИСЛА И ФУНКЦИИ

Декартова (алгебраическая) форма

3.7.1. z = х + iy.

Тригонометрическая форма

3.7.2. г = re'' - r(cos Є + і sin Є).

3.7.3. Модуль: І г І = (Xі + /)"* = г.

3.7.4. Аргумент: arg 2 — arctg (у/х) = 0 (другие обозначения аргумента: am z и ph z).

3.7.5. Действительная часть: x = Re z = r cos 9.

3.7.6. Мнимая часть: у — Im z = г sin 0.

Число, комплексно сопряженное с Z=X-T /у

3.7.7. z = x~ iy.

3.7.8. Iii - И.

3.7.9. arg z = — arg z.

Умножение и деление Если Г і = -Vi + їуі, z2 — Х-2 JJa, TO

3.7.10. Z1Z2 = X1Xa — JiJ2 + і(хіу2 + Aalt).

3.7.11. Iz1Zal - Iz1I I z, [.

3.7.12. arg (zizj) - arg Z1 + arg zs.

3.7.13. ^ =

'A

Iz1I Izsl '

X1Jla + УіУ2 + Ifay1 — Xiy,) x| + УІ

3.7.15. arg

(її"



arg Z1 - aeg za. Степени

3.7.16. zK = r"e"r

3.7.17. z" s= i n cos «0 + irn sin .'?G

(n = 0, ±1, ±2,...).

3.7.18. Zi = Xа — / + i(2xy).

3.7.19. z" = Xі - Ixy + Hix1y - y>).

3.7.20. z4 = x4 - 6xV + / + i'(4xsj - 4x/).

3.7.21. z5 = Xs - IOxaJs + Sxy4 + i'(5x4y - IOx2y'+ y5).

3.7.22. z» = [*"-( J j +[^j - •••] + + <[(") - J " j x"ya + ...j (n - 1, 2,...).

3.7.23. Если z" = un + і Vit, то z"rl = un+1 + ('vB+1, где

Un+:L =3 — yv,„ VrH T = XVn + yUn- Re Zrt И ІШ Zn НаЗЫ-ваются гармоническими многочленами.

3.7.24. =

Z .Izla Xа + у"

3.7.І5. — = — = (г1)».

2" I Z |а»

Корни

3.7.26. z"a = Vz = r^V0'2 = г1" cos — + irv* sin — ¦

2 1

При — те < 0 ^ те эта формула дает главное значение корня. Другой корень имеет противоположный Знак. Главное значение корня определяется формулой

Г1 11/а Г1 11/а

3.7.27. z-'a=l|(r + x)| ±i|i(r-x)| =Kiiv,

где 2[іу = у и знак перед v совпадает со знаком у.

3.7.28. Zlln — >л:"e1'''" (главное значение при —те < 0 < « Jt). Другие корни: г1/«е,(в№ч/"№ = 1, 2, 3.....п - 1).

Неравенства

3.7.29. I Iz1I - |za| I =S Iz1 + ZgI « Iz1I + |г,|.

Комплексные функции, уравнения Коши —1'имаиа

функция /(z) = Дх + iy) — и(х, у) + iv(x, у), где и(х, у), Кх, у) — действительные функции, аналипшчна в тех точках 1 - X -I- iy, в которых выполняются уравнения Kotuu — Римала:

3.7.30.

Su Sv

Sy

дх Sy Если 2 = ret&, то

3 7.31 — = - — . і — .

Sr г Sd ' г ІЯ

Sx

8» Sr

Уравнение Лапласа функции //(:•: у) и v(x. У) называются гармоническими. Они удовлетворяют уравнению Лапласа: в декартовых координатах

3.7.32. — + -

0ха ду

—- + -— = 0,

і полярных координатах

ПУ

-fr.8'-}-

• { Sr) 3.9. МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

27

3.8. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УPABTТЕНИЯ

Решение квадратных уравнений

3.8.1. Корни уравнения az% + bz + с = 0 с действитель-выми коэффициентами определяются формулой

- - ( —) = — D1'2, D^bt- 4ас. (2а) 2 а

При этом Z1 + z2 = —Ыа, Z1Z2 — с/а.

Уравнение имеет: два действительных различных корня, если D > О; два равных действительных корня, если D=O; два комплексно сопряженных корня, сели D < 0.

Решение кубических уравнений

3.8.2. Дано уравнение z'J a.2z2 -I- U1Z т а0 = 0 с действительными коэффициентами. Пусть

1 Ie 1 г ч ' S

q = — O1--г — — Ia1O2 — За о)--а\.

3 9 6 27

Если q3 + г9 > 0, то имеется один действительный корень и два комплексно сопряженных. Если q3 + г- — 0, то все корни действительны и по крайней мере два из них равны. Если q3 -- г- < О, то все корни действительны (неприводимый случай). Пусть

,!-[г-ь (д3 4- г2)1'2!1'3, S3 = [г - (qz + г)1'2]173; тогда

Z1 = (S1 + St) - — ,

3

Zt = - Y (? + S2) - -у- + (Si - S2),

1 , , s Д2 г*л/з . ч

= - у (Ji + S2)--^---J- (Si - J2).

Если Z1, Z2t Z3 — корни кубического уравнения, то

Z1 + Za + Z3 = —а2, Z1Z2 + Z1Z3 + Z2Z3 — ві, Z1Z2Zs —

Решение уравнений четвертой стспепи

3.8.3. Дано уравнение Zi + a3zs + <ї3г2 -f O1Z + а» — О с действительными коэффициентами. Находим действительный корень Ui кубического уравнения

и3 — O2U2 + (<7ios — Аао)и ~ {а\ -I- а0о\ — AoqO2) = О

и определяем четыре корня уравнения четвертой степени из двух квадратных уравнений

HH^HT+HftW"-*

Если все корни кубического уравнения действительны, то нужно иснользопать то значение U1, при котором кзадрат-ное уравнение имеет действительные коэффициенты и выбрать знаки так, чтобы если

Zi + asz3 + aszs + O1Z + а0 = (zs + P1Z + qd (z2 + pzz + q2)> TO

Pl + Pi = Яз, PiPz + SfI + ?2 = Сіг, Piqa + Paq1 = ax, qxq% = a0. Если Z1, z3, z3, Zi — корни данного уравнения, то Sz* = — а3, ^ElZiZjZic = — oi, TlZiZj — Й2, ZriZ2Z3Z4 = ап.

3.9. МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

Общие замечания

3.9.1. Пусть X = X1 — приближенное значение X = Z, где /(?) -- 0, и пусть Xi и ^ лежат на отрезке a ^ х =S Ь. Положим x71., Xn cnf(Xa) (« = 1,2,..) Тогда при определенном выборе чисел Cn последовательность Xn сходится к корню

Например, если сп — — llf'(x„), то приходим к методу Ньютона решения нелинейных уравнений.

Если сп = с для всех п, то имеет место метод простой итерации.

Степень сходимости метода приближений

Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 480 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed