Композиты на основе дисперсно армированных бетонов. Вопросы теории и проектирования, технология, конструкции - Рабинович Ф.Н.
ISBN 5-93093-306-5
Скачать (прямая ссылка):
Неравенства (3.54) описывают проекцию области Q на плоскость Z=O вдоль оси z. Слой L над точкой (г, ?) задается неравенствами:
г -CtgG2 <\z\< г-CtgGx = V/2 -4 г2 /2 (3.55)
Можно показать, что r • CtgG2 = г<JI2 -At^lin /(2ґтіп), если tmin < I/2 и KtgQ2 = 0, если
tmin> U2, где tmin есть расстояние от A0 до ближайшего пересечения прямой OA0 со сторонами прямоугольника (см. рис. 3.14, г). Нетрудно проверить, что
'rain =minIk'] -Г|,к2-Г|,|с3-Г|,|с4-Г|}
где
C1 = x/cost,; C2 = (B-x{)/cosCj = -у Jsirit;, C4 = (h-yJZsinti (если cost=0 или sin?=0, то соответствующие значения \с.-г\ не участвуют в формуле для t .).
r^ mm'
Таким образом, для данных (х0, у0) є Pr область Q = Q(x0, у0) состоит из всех таких точек А, для координат (г, ?, z) которых выполняются неравенства (3.54) и (3.55).
Рассмотрим характер изменения функции со в условиях стеснения. В общем случае со есть величина телесного угла (с учетом симметрии фибры), который высекается на сфере радиуса 1/2 с центром в точке А (г, ?, z) плоскостями х=0, х=?, у=0, у=h. Очевидно, со не зависит от координаты z, т.е. со=со(г, Пусть х' = xQ+ rcos^y' =у0+ rsirit,; (х, у) — координаты точки A0(r, 0). Так как фибры симметричны относительно своего центра, то для возможности размещения фибры с центром в точке А имеет значение лишь ближайшая из пары плоскостей х=0 или х=? и у=0 или у=h. Положим a=min(х\ В-х'), b=min(y', h-y'). Тогда со есть телесный угол, высекаемый на сфере радиуса 1/2 с центром в А двумя парами симметричных относительно А плоскостей х=х'±а; у=у'±Ь.
Если a2 + b2 > (1/2)2, то четыре секущие плоскости (в частных случаях 2 и 0) отсекают от сферы четыре непересекающихся пояса и телесный угол остающейся части сферы легко считается (на рис. 3.16 показаны сечения сферы плоскостью z = 0; координаты (и, \) получены из (х, у) параллельным переносом начала координат в точку А):
2n-[2(a+b)/l 471а/1, 471b/I, 2 71,
-1], если а <1/2; Ь <1/2; если а < 1/2; b > 1/2; если а > 1/2; b < 1/2; если а > 1/2; b > 1/2.
(3.56)
Если a2 + b2 < (1/2)2, то отсекаемые пояса пересекаются (рис. 3.16), и искомый телесный угол вычисляется как площадь поверхности части полусферы, заданной в виде z=z(x, у). В данном случае задача сводится к вычислению интеграла
а,
JJ
dx-dy
J J [л 2 2 ' • ГДе aI = 2a^ bI = 2M ~а\ V ~~-у
Вычисление этого интеграла приводит к следующему результату:
со(г,%) = 2я- 4arcsi
Ъу
(а2+Ь2)(1-я2)
«і
+ 4 a{arctg
ъ,
Ч
Jl-а\-Ь2х
\ f +4bxarctg
/
\
«1
ч
\
(а\ +Ь2)(1-Ь2)
+
/
Выразим значения функции р, параметра |cas6| и объема dvв координатах (г, ?, z). Величина р есть расстояние от А до 0, поэтому в координатах (г, ?, z) точки А значение p(r,?,z) = Vr2 -fz2 • Из рис. 3.14 видно, что |ту6| = |z|/p. Объем dv в координатах (г, ?, z) равен rdrxdfyidz.
Таким образом, все величины, входящие в формулы для Я (х0, у0) и Яог(х0, у0), выражены в координатах (г, ?, z), связанных с точкой 0(xQ, у0, 0).
В интегралах, выражающих А (х0, у0) и Aor(xQ, у0), можно явно произвести интегрирование по переменной z. При этом удобно записать их в виде
і со „/
Г \
Г I COS0 I ,
---lOZ
Ч
ЧгЛ)
dr • dz\
о
ТІ
Непересекающиеся пояса a2 + b2> (i/2)2
0 а > 1/2; b > 1/2
ф а > 1/2 ; b <1/2
(3) а <1/2 ; b > 1/2
0 а < 1/2 ; b <1/2
V
уг 11 -Q U '
J І і <Q 1 г
«—а—> <—&—.
j
/А \ и .
i -Q
«-S-- «—й—>
ІІ2У
Пересекающиеся пояса а2 + Ь2Щ1/2) 2
©
а <1/2 b <1/2
Ь А а \ \ -Q , \ U '
\ I " J JQ / ' г
'41/2
4 3 »
Рис. 3.16. К определению параметров стеснения ориентации фибр гранями изделия (плоскостями
стеснения P )
с'
1 ...4 — при непересекающихся поясах, в том числе: 1 — отсутствие стеснения; 2 — стеснение по координатной оси v (расчетная точка Ь); 3 — то же по координатной оси и (расчетная точка а); 4 — то же по v и u (Ь и а); 5 — то же при пересекающихся поясах по координатным
осям V и u (Ь и а). г
г \cosG I2
dz
Рт[_Чг?)
dr • dz\
J
Где L(г, у — слой над точкой (г, проекции P области Q на плоскость Z=O параллельно оси z.
Вычисления показывают, что внутренние интегралы можно выразить следующими формулами:
( P)= f Hcos0I^ =_4 [2, еслиІтіп>//2;
Г Ji0 P2 * і" [^min//, еслиІтіп<//2;
(3.57)
= J
г cos 0
Jz
л
+ arctg.
2r
1+Д
(3.58)
У
где
D
если tmin >1/2
-Circtgy
V
4t2-
-1, если tmin <1/2
Как видно, определение коэффициентов пересечения и ориентации сводится к вычислению двойных интегралов
(3.59)
По области Р, заданной в полярных координатах (г, неравенствами (3.54).
Рассмотрим зависимость Xp{xQ, у0) и Аог(х0, у0) от координат х0, у0. Как уже отмечалось, фибры, содержащие точку 0(xQ, у0, 0), находятся внутри сферы радиуса 1/2 с центром в этой точке. Поэтому для определения Xp(xQ, у0) и Аог(х0, у0) важно лишь то, как пересекается эта сфера с плоскостями, ограничивающими контур образца. Отсюда, например, следует: если xQ > I и B-X0 > /, то А и Xor не зависят от конкретного значения х0. В частности, в этих случаях Xp(xQ1 у0)=Х (/, у0) и XJxq, у0)=Aor(/f у0). Аналогично, если у0> / и h-y0> /, то Xjj и Xor не зависят от конкретного значения у0 и равны
