Композиты на основе дисперсно армированных бетонов. Вопросы теории и проектирования, технология, конструкции - Рабинович Ф.Н.
ISBN 5-93093-306-5
Скачать (прямая ссылка):
В каждом рассматриваемом шаре (круге) количество фибр пересекающих j-ю плоскость к общему количеству фибр (рис. 3.10, а), равно отношению объема (площади) шарового сектора (кругового сектора) к объему (площади) половины шара (круга), т. е. для объемно-произвольной ориентации
. vсектJ 2nR2hj 2 n3 hJ Д-аJ
= у—-=—Yj- / у ^ =~f=~1Г (3-22)
yVlmapa 3 3 KK
и для произвольной ориентации
я Scamy _ TtR2Zj ^nR2 _ aJ _ Bj
Pj S\/2круга ^ 2 Tt Tl I 2 ^
Принятые в (3.22) и (3.23) обозначения приведены на рис. 3.10,а,б. Рассмотрим ориентацию фибр, пересекаемых j-й плоскостью. Угол а,-между і-й фиброй и нормалью к плоскости находится в пределах 0<а, <аугде CCj = arccosa^ IR. Проекция площади поперечного сечения каждой і-й фибры на j-ю плоскость равна:
Aji = Af] Cosal
Проекция площади сечения всех п фибр, пересекаемых этой плоскостью:
к
Aji = ^jAfx cos а{ = ntAf^cosai Ini =Af^c Osai - — i'=0 /=0 1=0 пі
Коэффициент Xor представляет собой среднее значение cosa,- при изменении а, в указанных пределах. При л- -» Aa = 1 Ini —> 0 .
1 п'
Xor = — У cos а.-.
п ¦ ^
п ~ (3.24)
1=0 Рис. 3.9. К построению геометрической модели распределения фибр, пересекаемых расчетной плоскостью 1 — расчетная плоскость; 2 — центр фибр; 3 — пересечение шаров плоскостью; 4 — поверхность пересечения
всех шаров; 5 — линия размещения центров фибр а
б
JCTfAflCosa. = OfAfl
у-плоскость
F-
/-фибра
An = AflCosOCj.
Рис. 3.10. К выводу коэффициентов пересечения Xp и ориентации Xor
1 — совокупность фибр, расположенных под углом а. к нормали к расчетной плоскости
Выражение (3.24) правомерно при условии его сочетания с зависимостью, определяющей количество фибр, которые пересекают расчетное сечение, т.е. участвуют в работе элемента в этом сечении. Значения Xor в этой же формуле (3.24), связанные с cosa., справедливы не только при плоской, но и при объемно-произвольной ориентации. Это обусловлено тем, что во втором случае все фибры, расположенные под углом а., образуют поверхность конуса (рис. 3.10, г) и проекция площади сечения любой из этих фибр на расчетную плоскость равна AfjCosa., при этом значения cosa в последнем случае (объемно-произвольная ориентация) должны быть связаны с величиной 2nRsina., где Rsina- радиус основания конуса.
В соответствии с принятой моделью
In In
^p=-Х^ру; Kr--EV
п /=O
wZ=O
(3.25)
Для объемно-произвольной ориентации при /2. = RjM
і п п • і
-iXv*=Xzi-
"Po JTonn
Обозначив * =j/n, Ax = 1/п и, принимая получим
і
Xp - J xdx =
о
X ~2
1 О
= 1/2.
(3.26) Для плоскопроизвольной ориентации при a. = R j/n
і п
aJ
arccos— і о п
SV аилл» —- 1 о 77 ,-1
(X. R I Z угч Jl
—-— --—— = — > arccos----
п^л/2 л/2 п KJT0 п п
При х = j/n, Ax = 1/п и получаем
2 1
Я = — f arccos xdx = —(х arccos х - \ll-x2)
Р Xj Л
О
1 2
о = * <3-27>
Для выявления значений коэффициента Xor проведено численное исследование с использованием предпосылок первой расчетной схемы. В данном случае половину шара (учитывая его симметрию) радиусам R=lf/2 пересекали совокупностью параллельных плоскостей с равными интервалами между ними A=OJR. Круги, образованные пересечением шара плоскостями, являлись основаниями телесных углов а. (конусов с разными значениями диаметров оснований) с вершинами в центре шара. Каждый из телесных углов а. (конусов) в свою очередь был разделен на 10 входящих в него углов а также с равными интервалами между ними (от і = 1 до / = п, где п = 10). В пределах каждого телесного угла а. определяли среднюю величину проекции радиуса шара — вектора усилия, возникающего в фибре (как функцию cosasina) по отношению к оси, направление которой совпадало с направлением внешней силы. В конечном счете определяли среднюю величину результирующей проекции во всем диапазоне телесных углов а. (от j = 1 доу = к, где к = 10).
Если рассматривать совокупность углов а. в пределах пересечения фибрами одной у-плоскости, то коэффициент ориентации в этом случае равен
Я • =
'юп
I=Tl I=Tl
^ R cos сXi • 2TtR sin Cti ^ cos a, sin at
/=і _ /=і
l-n l-П
sin a,
/=і /=і
t—/i і—n
^JR•2лRsmai J^sii
Где сомножитель InRsinai = 2nr. (здесь г. = Rs in a.— радиус основания (окружности) телесного угла, образованного сечением шара плоскостью j, при этом 2nRsina. — это число фибр на окружности при расстоянии между их концами по окружности, равном 1).
В процессе учета всей совокупности j-плоскостей при объемно-произвольной ориентации фибр получено следующее выражение для коэффициента Xor и его численного значения:
/=T7 j~k
^^ COSal -Sinai
Xorj = /=1 м . .-= 0,66
orJ i=n j-k
(3.28) sm а.
/=1 7=1
Производя умножение коэффициентов для этой ситуации, получаем:
XXor = 0,5x0,66 = 0,33 (3.29)
По аналогичной схеме пересечения плоскостями половины круга (также, исходя из условия симметрии) получено выражение и численное значение коэффициента Xor для плоско-произвольной ориентации фибр: i=n j=k
