Композиты на основе дисперсно армированных бетонов. Вопросы теории и проектирования, технология, конструкции - Рабинович Ф.Н.
ISBN 5-93093-306-5
Скачать (прямая ссылка):
щадь пояса сферы; Р(ф — площадь сферы; Рсф = nlf2
пределах угла со, поэтому доля из их числа тех, которые пересекают s, составляет ф/со. Следовательно, общее число фибр с центрами, расположенными в окрестности объема V, пересекающих площадку 5, составит/?уф/со. Понятно, что при отсутствии стеснения указанное число фибр pv равномерно распределено по углу 4я (точнее по углу 2тг, считая из условия симметрии по полусфере). Соответственно для угла, равного 1, распределение фибр равноpv/2n, а по ф составит/?уф/2я. При стесненной ориентации учитывается не 2я, а величина со, при этом получим выражение
руф/со. (3.43)
Для определения общего числа фибр с центрами в Q1 пересекающих s, необходимо произвести интегрирование выражения (3.43) по Q1 т.е. вычислить
J1=J\рф/(O)tN,
Q
где dv — элемент объема; ф и со — функции точки AeQ.
Для определения сопротивления, которое способны выдержать рассматриваемые фибры, необходимо вычислить интеграл: - Б
Рис. 3.14. К определению геометрических параметров положения фибр относительно
расчетной плоскости
Jr
Q
(3.45)
где 6 также является функцией точки А є Q.
Чтобы получить в явном виде выражение для Xp и Xor, свяжем угол ф(х, у, z) с площадью Д площадки s. Учитывая, что размеры площадки s малы по сравнению с расстоянием р от А до из рис 3.14 найдем, что A - cos0| есть площадь, высекаемая телесным углом ф(х, у, z) на сфере радиуса р с центром в А(х, у, z), т.е.
^|cos0| = р2ф(х,у,г).
Следовательно:
ф(х,у,2) = АІсоЩ/р2.
(3.46) I
Рис. 3.15. К определению области Q
1 — полюс (отражение s на поверхности области Q). Окрестность v точки А весьма мала и величина телесного угла ф, проведенного из любой точки этой окрестности (например, как показано на чертеже) в направлении площадки s, остается практически постоянной. Величина (р = 4яР, JP где s'— проекция площадки s на сферу радиуса г -1 с центром в А; Р, — ее площадь; Paji — площадь сферы. Если г-1, величина (р = P (см. также рис.
3.14,в); QflHQs — области соответственно для точки 0 и площадки s
Отсюда
COS0
J1=MRP^, (3.47)
J р СО
Q
J2=PAV-^tdV, (3.48)
J рСО
и по определению
COS в
= (3.49)
J P (О
?2
f I COS в I
Kr (X0'У о) = р\-—Tj-¦ (3.50)
Q P0i
Для вычисления данных интегралов рассмотрим положение фибры (отрезок CD), представленное на рис. 3.15. Область Q состоит из всех таких точек А(х, у, z), при которых отрезок CD длины / с центром в точке А и лежащий на прямой OA1 содержится внутри Jb = {(х, у, 0), 0 < х < B1 0 < у < h) и включает точку 0 = {х0,у0,0}. Спроектируем C0D0 на сечение Pr, обозначив проекции точек С, D, А через C0, D0, Aq. Проекция C0D0 имеет длину /|5шв|, ее центр есть точка А0(х, у, z), она включает точку 0 и содержится BP= {(х, у, 0), 0 < х < в, 0 < у < И). Нетрудно установить, что и обратно, по всякому отрезку C0D0CPr, можно построить отрезок CD с указанными выше свойствами, пересекающийся с вертикалью под углом G (считаем 0 < G < я/2). Введем на плоскости z = o полярные координаты (г, с центром в 0 и имеющие координатным лучом положительное направление оси х. Координаты (х, у) для точки A0 будут через них выражаться формулами:
x = x0+rcos?; y = y0+rsin?;
Точки C0D0 будут иметь координаты (г ± /1 sin0 | / 2), где (г, ?) — координаты точки A0. Условия 0 є C0D0 и [CqDq] с Pr запишем в виде неравенств
г < /1 sin 0 I / 2; (3.51)
О < X0 + (г ± 11 sin в I / 2) cos ? < В; (3.52)
О < у0 + (г ± /1 sin в I / 2) sin ? < Л; (3.53)
Фиксируя г > 0 и рассмотрим, в каких пределах можно изменять значения 6 (и соответственно Z=±rctg0), чтобы неравенства (3.51-3.53) выполнялись. В данном случае неравенство (3.51) будет выполнено для всех G > G1, где G1 определяется из соотношения г = /1 sin O11 /2;. Рассмотрим соотношения (3.52) и (3.53). Если G=O, то неравенства (3.52) и (3.53) эквивалентны условию A0 є Pr и их можно предполагать выполненными (разумеется, при заданном ранее условии А є Q). Если G возрастает от 0 до 7і/2, то для каждого из (фактически восьми) неравенств (3.52) и (3.53) найдется не более одного значения G, начиная с которого оно перестает выполняться (выражения (3.52) и (3.53) при фиксированных г и ? являются неравенствами относительно G, вводя новую переменную у = /1 sin 0 I / 2 , которая возрастает монотонно вместе с G, мы видим, что относительно Y все неравенства — линейные). Поэтому область решений совокупности неравенств (3.52) и (3.53) для G есть отрезок [0,G2 (г, ?)], где G2 (г, ?) < я/2 есть положительная константа для данных г и Вместе с неравенством G > G1, это означает, что либо совокупность неравенств (3.51-3.53) при данных (г, ?) не имеет решений, либо решением является отрезок [G1, G2] с [0,7t/2]. Отсюда видно, что неравенства (3.51-3.53) имеют решение тогда и только тогда, когда
0<х0 +2r-cos? < В 0< у0 +2r-sin? <h г <1/2
(3.54)
Геометрически значение G1 выделяется наложением C0=O или D0=O, а значение G2 есть минимальное значение G, при котором одна из точек C0 или D0 попадает на границу прямоугольника — сечения Pr.
