Композиты на основе дисперсно армированных бетонов. Вопросы теории и проектирования, технология, конструкции - Рабинович Ф.Н.
ISBN 5-93093-306-5
Скачать (прямая ссылка):
р or
соответственно Ар(х0, /) и AJx0, /).
Используя симметрию элемента Jb относительно плоскостей х=В/2 v\y=h/2, получим соотношения:
\К Уо)Ч(*~"хо' уо) = Vхо- *-У0)= V5-xO- *"У0) ЯоДХ0» У0)ЧДБ-Х0- У0) = KrK к~Уо) = ЯоЯ"Х0- ^-Уо)
Определим численные значения коэффициентов А и Aor для случая нестесненной ориентации фибр. Эти значения поддаются явному вычислению. В данной ситуации расстояния отточки 0 до сторон прямоугольника Pr не меньше I. Поэтому из (3.57) и (3.58) следует:
Jp(r,?) = -4r/l + 2;
Jor (r,Z) = ~ Vl ~(2г/1)2 4- arctg4(l/2r)2-\ . По той же причине первые два из неравенств (3.54), задающих область Р, выполнены автоматически, так что P есть круг радиуса 1/2 с центром в (х0, у0). Далее, для (х\ у') є P (где x'=x+rcos^\ y-y+rsint,;) имеем a=min(x', В-х')> 1/2, b=min(y', h-y')> 1/2, откуда
со(г, ?)=2я.
Подставляя эти выражения в формулы (3.59), получим
InTui . ні л 2
Лр(хо,Уо) = і- і f (~r + 2)dr d? = P J (-—г + 2)dr = P(-—r2 + 2r)
271OO1 O1 1
1/2 0
2 2
In
0
Ul \
0
rj 1
(2r"
+ arctg,
(Г
V2f-J
-1
V
111 0
-'/(-T 0 '
Il-
2I
J У
/ / Л2
+arctg
]_
2 г
\ J
-\)dr
dr d^ =
(3.59.1)
Легко проверить, что
J
'2 г 42
v'y
dr = — 6
'2r
\2
Il-
ґ2гл2
V У
и
-Ыг = г-arctg.
—1
V/2-4г2
Подставляя эти выражения в (3.59.1), получим:
^or(xQyyo)=P
I
Ґ
1-
V
(2Л
v'J
2\
Il-
ґ 2r ^2
J
K1J
U2 О
+ Pr • arctg
2
-1
V 2 г
1/2 О
л//2 -Ar2
1/2 Pl Pl Pl
=--+ 0 + —= —
0 6 2 3
W ч pl w ч Pl
Таким образом, Хр(х^,у0) = — \ а0г\хо->Уо)~-
3 '
В данном случае Xor отображает величину, численно равную произведению ранее полученных значений Xp и Xor, т.е. 0.5x0.66=1/3, что, в свою очередь, означает, что в рассматриваемой ситуации значение Xor интегрально учитывает в работе только те фибры, которые пересекли расчетную плоскость (в отличие от Xor - 0.66, когда рассматривается вообще весь ансамбль фибр, способных пересечь указанную плоскость) при их объемно произвольной ориентации.
На рис. 3.17 показан вид графиков зависимости Xp и Xor от х (при фиксированном у) для разных соотношений между В и / (ситуации со стеснением и без него, когда указанные коэффициенты принимают постоянные численные значения). Отметим при отпм ито чямрня паоаметоов В и h друг на друга означает перемену местами аргу- а)
б)
в)
х
х
X
О
і
B-I
В О
I = B-I В О В/2 В
Рис. 3.17. Характер зависимости Xp и Xor (при фиксированном у) для разных соотношений между В и /.
1 — ось симметрии
ментов X0 и у0. Поэтому при вычислениях всегда можно ограничиться случаем В > h.
Фактические значения коэффициентов Я и Xor с учетом стеснения ориентации фибр могут быть установлены по формулам двойных интегралов (3.59), однако вычислить их аналитически в явном виде не удается. Поэтому была составлена программа для решения рассматриваемой задачи путем приближенного интегрирования на ЭВМ.
В таблицах 3.5 и 3.6 приведены установленные путем вычислений значения Xp(xQ, у0) и ЯоДх0, у0) при изменении параметров BZlf и /г/^для двух ситуаций: при действии внешней силы растяжения и в другом случае — сжатия, направленных перпендикулярно сечению Bxh элемента (вдоль оси z). При этом имеется в виду, что пролет элемента H или L в любых ситуациях многократно (более чем в 10 раз) превышает величину /
Как видно, при действии силы растяжения (табл. 3,5) значения X^ и Xor возрастают по мере уменьшения отношений Bflf или h/lj, т.е. эффект дисперсного армирования проявляется в наибольшей мере в тонкостенных элементах. При действии силы сжатия, при которой волокна-фибры должны играть, в основном, роль компонентов косвенного армирования, наиболее высокий эффект достигается при увеличении параметров В/^или M^ (табл. 3.6). В последнем случае ситуация эквивалентна действию силы растяжения перпендикулярно оси z (параллельно оси х).
Проанализируем аналогичную ситуацию для плоско-произвольной (двухмерной) ориентации фибр в пространстве. Допустим, что в рассмотренной выше трехмерной задаче толщина h изделия пренебрежимо мала по сравнению с длиной фибры /. Тогда математическую модель изделия Jb можно представить в виде плоского прямоугольника в плоскости (х, z) ширины В (по оси х) и высоты (или длины )Н» I (по оси z), причем будем считать, что внешняя растягивающая сила приложена вдоль оси z. Установленные выше формулы для расчета могут быть аналогично выведены и здесь. Покажем это для случая плоско-произвольной (нестесненной) ориентации фибр. В данном случае область Q1 — круг радиуса 1/2 с центром 0(0,0). Сечение Z = O есть прямая в плоскости (х, z), площадка 5 вырождается в отрезок длины А, лежащий на оси х и содержащий 0. Если А(х, z) є Q, то пусть р=0А, a G есть угол между прямой OA и осью z, при этом ф есть угол, под которым 5 видна из точки А (рис. 3.18). Считаем также, что р — среднее число центров фибр на единицу площади, а со — величина угла, в котором могут быть расположены фибры, имеющие центр в точке А (с учетом симметрии фибры относительно ее центра А и при отсутствии стеснения принимаем со=л). Аналогично трехмерному случаю получаем Таблица 3.5
