Композиты на основе дисперсно армированных бетонов. Вопросы теории и проектирования, технология, конструкции - Рабинович Ф.Н.
ISBN 5-93093-306-5
Скачать (прямая ссылка):
Следует заметить, что численные значения коэффициентов Xor и X зависят от координат точки х и изменяются по мере приближения этой точки к грани изделия. С удалением точки х от граней изделия на расстояние больше 0,5/ (I — длина фибры) коэффициенты Xor и Я стремятся к постоянным значениям, характерным для нестесненной ориентации фибр в пространстве.
Считаем, что при свободном (нестесненном) положении каждая фибра может иметь любую ориентацию в трехмерном пространстве и описать при вращении вокруг своего геометрического центра поверхность сферы (шара) радиусом 1/2. В этом случае любое направление оси фибры в пространстве равновероятно. На рис 3.12 изображены три ситуации, в том числе две из них относятся к стесненной ориентации фибр при положении их центров (точка А) на расстоянии меньше, чем //2 от грани изделия. В этих случаях положение каждой фибры в изделии ограничивается и тем больше, чем ближе точка А лежит к поверхности (к грани) изделия (к поверхности стеснения Pc).
Грань изделия (поверхность стеснения PJ отсекает плоскостью Pcc часть шара (см. рис. 3.12), при этом из шара выделяется часть его объема в виде шарового сектора, в пределы которого возможность попадания рассматриваемых фибр исключается. Из условия симметрии относительно точки А возникает одновременно и другое «сечение» условной плоскостью, которую назовем плоскостью псевдостеснения Pnc с образованием аналогичного шарового сектора по другую сторону от точки А (от центра фибры), причем попадание фибры в объем этого шарового сектора также исключается (рис. 3.13.).
Третья ситуация на рис. 3.12 относится к нестесненному положению одной из фибр в объеме изделия. Центр этой фибры (точка А) отстоит от граней изделия на расстояние больше 1/2. Сфера возможных положений концов этой фибры пересекается расчетной плоскостью Pr, отстоящей от точки А на расстояние меньше чем 1/2. При этом фибра одним из своих концов заходит за расчетную плоскость. Аналогично можно представить пересечение сферы расчетной плоскостью и для случая стесненной ориентации фибр (эта ситуация рассматривается ниже).
Для дальнейшего анализа возможных положений фибр по отношению к расчетной плоскости необходимо рассмотреть некоторые дополнительные параметры геометрической модели распределения этих фибр в пространстве (рис. 3.14а). Выделим в пределах расчетной плоскости Pr, при Z = O небольшую площадку s с площадью Д, фиксируя на ней точку 0 с координатами (х0, у0,0). Вполне очевидно, что в рассматриваемом случае (при положении расчетной плоскости от грани изделия по оси z на расстоянии, значительно превышающем 1/2) значения Ap и Aor, становятся независимыми от координаты z и достаточно их вычислить в точке (х0, у0,0) как функции от (х0, у0).
Пусть Qt — область возможных положений центров фибр, пересекающих s и лежащих в пределах изделия Jb. Например, для случая без стеснения ?2 есть объединение шаров радиусов 1/2 с центрами на s.
Пусть точка А (х, у, z) принадлежит Q, и ф(х, у, z) — телесный угол, под которым видна площадка s из точки А. Величина ф может быть вычислена из выражения
ср = AnPs' / Рсф ,
где sf — проекция из точки А площадки s на сферу любого радиуса с центром в А (рис. 3.14в); Ps,— ее площадь, P — площадь той же сферы. Если радиус равен 1, то ф = P ,(рис. 3.14).
Обозначим через со(х, у, z) половину величины телесного угла, в пределах которого может располагаться фибра с центром в точке А. Ввиду симметрии фибры относительно ее центра удобно измерять а)(х, у, z) половиной площади, высекаемой телесным углом на единичной сфере с центром в А (в частности, при отсутствии стеснения получаем половину площади единичной сферы, т.е. 2л; при одностороннем стеснении (рис. 3.12, ситуация 1) со равен половине площади шарового пояса между плоскостями Pcc и РПс). Отклонение фибры от направления силы N (от оси z) измеряется углом Є (х, у, z) между вертикалью и прямой OA (рис. 3.146).
Выделим малую окрестность объема v точки А, причем размеры этой окрестности малы по сравнению с площадкой s и в сравнении с расстоянием от точки А до, плоскости стеснения (если последняя имеется). В пределах указанной окрестности функции фиш изменяются весьма незначительно (пример такого изменения показан на рис. 3.15. В этом случае общее число фибр (расположенных в пределах Jb), центры которых принадлежат v, равно pw, где р — плотность распределения фибр (их количество на единицу объема). Эти фибры по условию равномерно распределены в I -1
..—f—.
-—J____
«
<lf /2 <lf /2
IV=If
Рис. 3.13. К определению ю
Pcc — сечение шара радиусом IfJl (в тексте 1/2) с центром в А плоскостью стеснения Pc. Плоскость Pnc (плоскость псевдостеснения) строится симметрично Pc относительно точки А. Расстояние от геометрического центра фибры в точке А до плоскостей Pc и Pnc меньше If/2. Заштрихованная часть шара — коническое пространство, в
пределах которого вероятность расположения рассматриваемой фибры исключается, to — телесный угол (незаштрихованная часть шара) равновероятных (возможных) положений фибры с центром в А. Численное выражение « соответствует половине незаштрихованной части поверхности сферы, т.е. половине поверхности сферического пояса между плоскостями Pc и Pnc. При этом W = 2пРп/Р где Pn — пло-
