Расчет пластинок на прочность и устойчивость методом сеток - Чуватов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
На рис. 50 изображен край плиты, параллельный оси у. Крутящий момент, действующий на единицу длины края Mxy между' точками і и ,k, представим в виде пары сил, каждая из которых равна МХу.
При переходе к следующему участку km вдоль оси у крутящий момент возрастет на величину
дМху __ дМху ду ду t .
Пара на этом участке будет состоять из сил Mxy + Jcy . В точке-
дМху
k направленные по одной, линии силы Mx., и Mxv-\--— дают ре*
у ду
зультирующую силу -. Складывая эту силу, приходящуюся на
ду
1 Если пластинка загружена в срединной плоскости, то точки контура будут перемещаться и по горизонтали. В этом случае положение нормали определяется четырьмя величинами. Граничных условий будет тоже четыре.
dy
Рис. 50.
57~ единицу длины края, с поперечной силой опорной реакции Rx. Она будет равна:
Qxz, получим величину
Rx=Qxz+-
дМ-
Xy
ду
Подставляя вместо Qx
и Mxy их значения по (91) и (83), получаем
daw , ,п . daw
ц)-
дхду2
(105)
Аналогично величина реакции,' действующей на единицу длины края плиты, параллельного оси х:
-D
да'л> , /л . d3w
—Ч-(2 — и)-
ду3 ' дудх2
(106)
Следует заметить, что если в каждой точке края плиты, ного оси X, одной из сил пары Mxy соответствовала
но
параллель-противополож-направленная сила соседней пары, то й углу плиты будет действовать только неуравновешенная сила Mxy. Такая же сила появится в-углу плиты и со стороны края, параллельного оси у (рис. 51). В результате в каж-дом_ углу пластинки будут действовать сосредоточенные силы, равные 2Mxy. Эти силы передадутся на опоры и вызовут сосредоточенные реакции в углах пластинки, которые будут равны:
R=2MX.
(107)
'Xy¦
Рассмотрим теперь граничные условия для наиболее часто встречающихся случаев опирания краев пластийки. Запишем их дая края|л:=а (см. рис. 44):
1. Край плиты свободно оперт на жесткую опору
Mr=
или
W= 0,
_D(Vw + о
дх2 ду2/
--ь и-= 0.
дх2 іду2.
2. Край защемлен
W=0, дх
(108)
(109)
(110) (111)
?8 3. Край свободный
м;=о, ^ + ,A
• 0Л-2 гду2
(112>
Rx=-D
d3w дх*
+ (2-Ц)
или
дщ>
дх3
+ (2-И)-
<Э30)
дл-ду2
33о) дхду2
= 0.
(113).
4. Край упруго оперт и упруго защемлен. Если край пластинки, соединен жестко с поддерживающей его балкой (рис. 52), то прогиб, края будет равен прогибу балки, а угол поворота края будет равен углу закручивания балки. Согласно формуле (105) давление, передаваемое пластинкой на балку, будет:
п г. Г d3o> , q=Rx = —D —-f.
дх3
+ (2-fi)
d-'W
(114)
Рис, 52,
дхду2_
Уравнение изогнутой оси балки имеет' вид:
п, дЧа
EI-=<7,
ду* 4
где EI — жесткость балки при изгибе.
Подставляя в это уравнение значение q по выражению (114),. ' получаем:
ду« Ydx3 v дх-dy2] . v '
Это уравнение представляет одно из граничных условий для рассматриваемого случая.
Другое условие получим, рассматривая кручение балки. На рис. 53 изображен элемент балки длиной dy. Изгибающие моменты Mx, возникающие в пластинке, вызовут кручение балки. Относительный: угол закручивания одного крайнего сечения по отношению к другому будет равен:
дв
e+—dy-ду
-в
дв d2w
dy
ду дхду
где ©=
dw
Их
— угол поворота кромки плиты.
5» Крутящий момент, соответствующий этому углу закручивания:
дЧи
Mk-GIk
дхду
(116)
Величина этого момента меняется в зависимости от длины элемента. Рассматривая условие равновесия элемента SMy=O, получаем:
^dy= Mjiy.
ду
Мк+U^dy
Рис. 53.
Подставив в это выражение вместо Mk и Mx их значения, согласно выражениям (116) и (81), получим второе граничное условие на рассматриваемом крае:
d3w
Glh
' дхду2
-D
d2w , d*w
—+ и-
дх2 ду2
(117)
Мы рассмотрели граничные условия, относящиеся к сторонам пластинки, параллельным оси у(л:=0, х=а). Для сторон пластинки, параллельным оси х (у=0, у=Ь), граничные условия запишутся аналогично. Следует лишь поменять местами х и у.
10. Изгиб пластинки по цилиндрической поверхности. Это частный, но практически важный случай изгиба пластинки. Рассмотрим достаточно длинную прямоугольную пластинку, короткие стороны которой свободны, а длинные шарнирно оперты (см. рис. 11, в)( или заделаны. Нагрузка в направлении короткой стороны может' изменяться по любому закону, но в направлении длинной стороны, для каждого значения х она остается постоянной.
В этом случае будет происходить изгиб пластинки по цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси у. Величины
60 прогибов плиты — функция одной переменной X. Дифференциальное уравнение изгиба плиты (97):
d*w_q
" "dx* D-*
Если рассматриваемую плиту представить в виде ряда балочек единичной ширйны, то каждая из них будет находиться в условиях плоской деформации. В плите возникают не только напряжения ах, но и сту. Эти напряжения могут быть определены по формулам (84)' и (85), причем изгибающие моменты будут:
Mx= — D—, Mv=——
dx* у rdx*r
