Расчет пластинок на прочность и устойчивость методом сеток - Чуватов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
d2w , .. d2w п d3w , ,г, d3w
d2w „ ду2
-(2-(1)-
0л-2 ' ' ду2 ' дх3 ' 4 ' ' дхду Для. точки k края эти условия запишутся в виде: wb — 2wk+wd , м wa — 2wk+w{
0.
Дл-2
р,
Ay2
-P=O:
Wi — 2wb+2wd ¦ 2Длг3
+ (2
- Wh — 2 (Wb — Wd)+Wf— !
2 Ax Ay2
=0.
72 (116)
При Ax=Ay находим из первого уравнения:
w„=2 (1 +(х) Wk — (X (wa+wc) — wd.
Из второго:
W1=2 (3 — (x) (wb — wd) — (2 — ц) (wg+Wf-Wh — We)+Wn. (139)
Если принять (X=0,3, то уравнение (138) примет вид:
wb=2,6wk — 0,3(wa+wc) — wd. (140)
Соответственно для точек / и g можно записать: wf=2,6wa — 0,3 (Wi + wk) — we; wg=2,6wc — 0,3 (wm+wk) — wh.
Подставляя найденные значения wb, wf и в уравнение (139), получим:
Wl=Wn — 10,8^+3,40^+3,4?+15,06?-г-
-6,04^+^+0,51(? + ?). (141)
Уравнения типа (140) и (141) могут быть записаны для каждой точки сетки, находящейся на свободном крае. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Определить прогибы в квадратной пластинке, защемленной по всем четырем кромкам, от действия равномерно распре-
нагрузки
интенсив-
Ax=
3 2 I г Tlu* 3 / г
г 5 4 5 г ;
1 і 6 4 і / І
2 5 4 S 2 і' ?
3 г t P 1 * ?
>—і *
V7T/ V77T, да
< г
деленной ностью q.
Принимаем шаг сетки
= Ay=- (рис. 59). Ввиду симмет-6
рии нагрузки относительно осей х, у и контурных условий будем иметь шесть точек, прогибы в которых неизвестны. Прогибы в законтурных точках, согласно (137), будут равны* прогибам в предконтурных точках. Соответственно этому на рис. 59 законтурные точки обозначены тем же номером, что и предконтурные.
Для каждой точки сетки записываем уравнение (135). Система этих уравнений после приведения к симметричному виду записана в верхней части табл. 9. В нижней части этой таблицы приводятся коэффициенты влияния. Средняя часть таблицы представляет • собой решение системы уравнений.
С помощью коэффициентов влияния, приведенных в табл. 9, находим величины прогибов:
С = п ®>k= h ?,*
"І
Рис. 59.
г' = 1
~tp>
73 Таблица 1 Таблица 2"
CO1 Wt CO3 CO1 ®5 со» S 6«
21 —16 2 —8 4 1 4
—16 48 —16 6 —16 0 6
2 —16 24 0 2 0 12
—8 6 0 25 —16 —8 —1
4 —16 2 —16 22 2 —2
1 0 0 —8 2 5 0
6 - таблица
<х - таблица 2?
21 —16 2 —8 4 1 4
0,76190 35,80960 —14,47620 —0,09520 —12,95240 0,76190 9,04770
—0,09524 0,40425 17,95752 0,72344 —3,61697 0,21276 15,27675
0,38095 0,00266 —0,04029 21,92300 —14,36493 —7,62560 —0,06753
—0,19048 0,36170 0,20142 0,65524 6,41219 —2,86864 3,54355
—0,04762 —0,02128 —0,01185 0,34784 0,44737 0,99781 0,99781
Коэффициенты ВЛИЯНИЯ S ?ift
0,14789 0,08892 0,03348 0,20354 0,16173 0,23139 0,86695
0,08892 0,09320 0,04297 0,14874 0,14099 0,16380 0,67862
0,03348 0,04297 0,06329 0,04973 0,05080 0,05255 0,29282
0,20354 0,14874 0,04973 0,52432 0,38957 0,64238 1,95828
0,16173 0,14099 0,05080 0,38957 0,35653 0,44835 1,54797
0,23139 0,16380 0,05255 0,64238 0,44835 1,00218 2,54066
Проверка: ^hk-2?«=5,99914.
где aip— свободные члены. Они с учетом симметризации имеют следующие значения:
aIp-aSp-а4р — аЬр z
D
a^Vf, а6р=0,25-^1 Величины прогибов определяем по формуле:
D
Значения а приведены в табл. 10.
74 Таблица 10
Точки а Точки а
1 0,00060 4 0,00125
2 0,00050 5 0,00104
3 0,00023 6 0,00151
Наибольший прогиб в центре плиты: ш.= 1,95282. *'95282
gl*
= 0,00151 D 1296 D D
^точное значение прогиба we=0,00126 j .
Пример 2. Определить прогибы в пластинке, два противоположных края которой свободно оперты, третий защемлен, четвертый свободен (рис. 60), Нагрузка равномерно распределена с интенсивностью q.
Для рассмотрения методики расчета пластинки со свободным краем ограничимся довольно крупным шагом сетки. Примем Ax=
= Ay=-. Для получения лучших
Рис. 60.
результатов сетку следует взять более частую. Нумерация узлов сетки показана на рис. 60. Прогибы в законтурных точках против свободно опертого края будут равны, согласно (136), прогибам в предконтурных точках с обратным знаком. Прогибы в законтурных точках против за-, щемленного края будут равны в соответствии с (137) прогибами в предконтурных точках. Прогибы в точках за свободным краем выражаем через прогибы внутри контура и на контуре пластинки, используя граничные условия для свободного края.
Согласно выражению (140) находим:
Ws.= — W1 + 2,6 ws — 0,6?;
5 ~
W6=-W2 W7=0.
0,3? + 2,6?;
По формуле (141) определяем:
Ws = - 10,8^+6,8^2+15,06?- 12,08 йУ4; W9=SAW1 — 10, 8W2 — 6,04? — 15,06?.
75', Для точек 1, 2, 3, 4 записываем уравнение (135) изгиба плиты. Точка 1
20 W1 — 8 (2w2-\-Wg)+4wi + wl+w5=a.
Точка 2
20? — 8 (ш4+^+2ш8+2ш2 — w2+we=a.
Точка 3
20? — 8 (2wi+w1 + w5)+2 (2^3+2?) -\-Wg=a.
Точка 4
20? — 8 (?+?+?)--^ (?+?)+? — Wi-sCW9=Q,
где
a =-3- Axi. D
Подставляя в эти уравнения вместо прогибов в точках 5, 6, 7, 8 их значения, после элементарных преобразований получаем следующую систему уравнений:
20?—16ш2 — 5,4дад+3,4да4=й;
