Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Машиностроение -> Чуватов В.В. -> "Расчет пластинок на прочность и устойчивость методом сеток" -> 15

Расчет пластинок на прочность и устойчивость методом сеток - Чуватов В.В.

Чуватов В.В. Расчет пластинок на прочность и устойчивость методом сеток — Свердловск, 1972. — 107 c.
Скачать (прямая ссылка): raschetplastinoknaprochnost1972.djvu
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 28 >> Следующая


дхду

По закону парности касательных напряжений Txy=Tyx, Myx=Mxy 52 5. Напряжения, выраженные через внутренние усилия. Из формул (77) и (8 Г)" следует:

Ez /d2w , ^=-T-;Ь + 1»ТГ

или

?2

Mr

1 — fx2 \ дх2

oy2/ I-H2 D Mxz

Ez 1 — и2



I-H2

Mr.

(84>

' I г— I //
J ____
T My\ I ___/
/ к
L / fr /

Myoc
/ г
/
/ -л

rCyx

Рис.' 48.

Аналогично из формул (78) и (82) находим:

rMyZ

(85)

Максимальные напряжения:

Ox =-

Mx

W

max_My

W

Касательные напряжения Xxy, согласно формулам (79) и (83), могут быть выражены через крутящий момент Mxy в виде: »

т*у=-

Ez

d*w

Ez

M

ху

l+fi дхду l+fi 0(1—(і)

или

MxyZ

*ху

(86)

Как следует из этой формулы, касательные напряжения, вызываемые кручением, распределяются линейно по высоте пластинки.

Эпюры нормальных и касательных напряжений приведены на рис. 48, а и б.

6. Зависимость между внутренними усилиями в пластинке. Для

установления зависимости между внутренними усилиями в пластинке вырежем из нее элемент с размерами dx, dy и высотой h. Для простоты будем изображать вместо всего элемента лишь его срединную

53 плоскость. По граням элемента действуют изгибающие, крутящие моменты и поперечные сшы, а также внешняя нагрузка. Усилия, .действующие по граням элемента, показаны на рис. 49. По противоположным граням они отличаются между собой на величину приращений. Под действием указанных усилий и внешней нагрузки

Myxdx



cidxdy ^(Myy+mid*)d4

І_—^x

fMx +Autdx)dy

(M^M)**,

(Myx^ay)OX

(Qyz+^dyjdx

элемент должен находиться в равновесии, т. е. должны соблюдаться равенства: 2?=о, IlMx=Oj^My=O, 2Х=о, 2К=о,2Мг=о. Последние три уравнения удовлетворяют условию тождества. Запишем первое из уравнений*. Если

то.

дх

-dxdy+ 9Qxi

aQ

yz

ду

¦dydx+qdxdy= О,



dQ

yz

-q. • (87)

дхду

Отбрасывая «бесконечно малые величины Высшего порядка, запишем второе из уравнений равновесия. Если

IlMx=О,

то

дМу дМху

—-dydx ---dx-dy -

ду у дх у

Q dxdy=0.

Сокращая все члены этого уравнения на dx, dy, получаем:

dMv



дМ

ху

=Qv

ду ' дх уг' Аналогично из третьего уравнения равновесия:

дМг , дМ

дх



ух

ду

= Qxz-

(88)

(89)

S4 Для прямого бруса1 мы имеем аналогичные, но более простые зависимости:

dQ dM: п

-Tl=-<7; -T-=Q-

dx dx

Подставляя значения Qxz и Qyz в формулу (87), получим:

д*Мх 2*МХУ | дШу _ (90)

дх2 дх ду ду2

Для балки эта зависимость имеет вид:

1 dm

-= —а.

dx2 v

Если в выражения (88) и (89) для поперечных сил Qxz и Qyz вместо» Mx, My, Mxy подставить их значения согласно формулам (81), (82), (83), то получим формулы для поперечных сил, выраженные через величины прогибов пластинки:

<k=-i>-(—+—);' ' (91)

. 2 дх I дх* ду2 ! У '

yz ду I дх2 ду2) ,

Соответствующие этим силам касательные напряжения Xxz и] Xyz определяются по формулам сопротивления материалов:

^z=-qY-(93)

QyzS (94),

tJ-Z— J ¦ .

Закон изменения этих напряжений параболический. Наибольшего* значения они достигают ¦ на уровне срединной поверхности пластинки:

ттах = |._^; (95>

Cax=-- S*L. (96)

2 \h >

Эпюры напряжений Txz и Tyz приведены на рис. 48, в.

7. Уравнение изогнутой поверхности пластинки. Для определения внутренних усилий в пластинке необходимо знать прогибы, плиты. Подставив в уравнение (87) вместо Qxz и Qyz их значения согласно (91) и (92),''получим:

D

( d2w" д2а> \ Fd2W d*w \

дх2 \г"<Эл-2 ду2 ) ду2 \ 0л-2 ду2 )_

55 или v

Э*а> Л 2 dlw 1^diW __

дх* дх*ду! ду1" D ¦

Это и есгь'уравнение изгиба пластинки, представляющее собой зависимость |между прогибами и нагрузкой. Сокращенно уравнение можно записать так:

V2V2^= . (98)

где

„ 0? d2w

дх2 ду2

8. Представление дифференциального уравнения изогнутой поверхности пластинки четвертого порядка в виде двух дифференциальных уравнений второго порядка. При решении ряда задач целесообразно уравнение (97) записать в виде двух дифференциальных уравнений второго порядка. Запишем уравнение (97) в виде:

Vdx2 ду2)\дх2 ду2) D '

Полагая, что

Mx+Mv = M, (99)

1+ц

где M — приведенный момент, и подставляя в (99) вместо Mx и My их значения согласно (81) и (82), получаем:

M=—?>(— + —) . (100)

ду2) і

Используя это равенство, можно записать уравнение (97) в виде двух дифференциальных уравнений второго'порядка:

дт , д2М .. /1Л,Ч

d2w d2w _ M

дх2 ~ду2 ~ D

Следует заметить, что

(102)



и аналогично

дМ ду

=Qyz, ,(104)

т. е. первая производная от приведенного момента по х равна по? перечной силе Qxz и первая производная от приведенного момента по у — поперечной силе Qyz.

;56 . , 9. Граничные условия. В основу расчета пластинок была "поло« жена гипотеза прямых нормалей. Нормаль, проведенная к произвольной точке контура пластинки, под воздействием нагрузки может переместиться в этой точке по вертикали]^ (горизонтальные переме» щения точек срединной плоскости при действии поперечной нагрузки принимались равными нулю) и повернуться на некоторый угол в плоскости, перпендикулярной к контурной линии. Следовательно, положение нормали определяется двумя величинамиСо- ; ответственно этому для каждой точки контура должно быть задано два граничных условия. Они могут быть как геометрическими, так и статическими^ Рассмотрим в связи с этим определение опорной реакции при свободно опертом крае. Здесь будет действовать поперечная сила и крутящий момент, которые и должна воспринять опора. Однако опора может создавать только реакции, перпендикулярные к срединной плоскости. Для устранения этого противоречия, вызванного неточностью рассматриваемой теории, заменим крутящие моменты эквивалентными парами. Такая замена не повлияет на величину крутящих моментов и вызовет лишь местные перераспределения-напряжений по краю пластинки, не отражающиеся на распределении; напряжений по всей, остальной площади пластинки,
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 28 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed