Расчет пластинок на прочность и устойчивость методом сеток - Чуватов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
дхду
По закону парности касательных напряжений Txy=Tyx, Myx=Mxy 525. Напряжения, выраженные через внутренние усилия. Из формул (77) и (8 Г)" следует:
Ez /d2w , ^=-T-;Ь + 1»ТГ
или
?2
Mr
1 — fx2 \ дх2
oy2/ I-H2 D Mxz
Ez 1 — и2
I-H2
Mr.
(84>
' I г— I //
J ____
T My\ I ___/
/ к
L / fr /
Myoc
/ г
/
/ -л
rCyx
Рис.' 48.
Аналогично из формул (78) и (82) находим:
rMyZ
(85)
Максимальные напряжения:
Ox =-
Mx
W
max_My
W
Касательные напряжения Xxy, согласно формулам (79) и (83), могут быть выражены через крутящий момент Mxy в виде: »
т*у=-
Ez
d*w
Ez
M
ху
l+fi дхду l+fi 0(1—(і)
или
MxyZ
*ху
(86)
Как следует из этой формулы, касательные напряжения, вызываемые кручением, распределяются линейно по высоте пластинки.
Эпюры нормальных и касательных напряжений приведены на рис. 48, а и б.
6. Зависимость между внутренними усилиями в пластинке. Для
установления зависимости между внутренними усилиями в пластинке вырежем из нее элемент с размерами dx, dy и высотой h. Для простоты будем изображать вместо всего элемента лишь его срединную
53плоскость. По граням элемента действуют изгибающие, крутящие моменты и поперечные сшы, а также внешняя нагрузка. Усилия, .действующие по граням элемента, показаны на рис. 49. По противоположным граням они отличаются между собой на величину приращений. Под действием указанных усилий и внешней нагрузки
Myxdx
cidxdy ^(Myy+mid*)d4
І_—^x
fMx +Autdx)dy
(M^M)**,
(Myx^ay)OX
(Qyz+^dyjdx
элемент должен находиться в равновесии, т. е. должны соблюдаться равенства: 2?=о, IlMx=Oj^My=O, 2Х=о, 2К=о,2Мг=о. Последние три уравнения удовлетворяют условию тождества. Запишем первое из уравнений*. Если
то.
дх
-dxdy+ 9Qxi
aQ
yz
ду
¦dydx+qdxdy= О,
dQ
yz
-q. • (87)
дхду
Отбрасывая «бесконечно малые величины Высшего порядка, запишем второе из уравнений равновесия. Если
IlMx=О,
то
дМу дМху
—-dydx ---dx-dy -
ду у дх у
Q dxdy=0.
Сокращая все члены этого уравнения на dx, dy, получаем:
dMv
дМ
ху
=Qv
ду ' дх уг' Аналогично из третьего уравнения равновесия:
дМг , дМ
дх
ух
ду
= Qxz-
(88)
(89)
S4Для прямого бруса1 мы имеем аналогичные, но более простые зависимости:
dQ dM: п
-Tl=-<7; -T-=Q-
dx dx
Подставляя значения Qxz и Qyz в формулу (87), получим:
д*Мх 2*МХУ | дШу _ (90)
дх2 дх ду ду2
Для балки эта зависимость имеет вид:
1 dm
-= —а.
dx2 v
Если в выражения (88) и (89) для поперечных сил Qxz и Qyz вместо» Mx, My, Mxy подставить их значения согласно формулам (81), (82), (83), то получим формулы для поперечных сил, выраженные через величины прогибов пластинки:
<k=-i>-(—+—);' ' (91)
. 2 дх I дх* ду2 ! У '
yz ду I дх2 ду2) ,
Соответствующие этим силам касательные напряжения Xxz и] Xyz определяются по формулам сопротивления материалов:
^z=-qY-(93)
QyzS (94),
tJ-Z— J ¦ .
Закон изменения этих напряжений параболический. Наибольшего* значения они достигают ¦ на уровне срединной поверхности пластинки:
ттах = |._^; (95>
Cax=-- S*L. (96)
2 \h >
Эпюры напряжений Txz и Tyz приведены на рис. 48, в.
7. Уравнение изогнутой поверхности пластинки. Для определения внутренних усилий в пластинке необходимо знать прогибы, плиты. Подставив в уравнение (87) вместо Qxz и Qyz их значения согласно (91) и (92),''получим:
D
( d2w" д2а> \ Fd2W d*w \
дх2 \г"<Эл-2 ду2 ) ду2 \ 0л-2 ду2 )_
55или v
Э*а> Л 2 dlw 1^diW __
дх* дх*ду! ду1" D ¦
Это и есгь'уравнение изгиба пластинки, представляющее собой зависимость |между прогибами и нагрузкой. Сокращенно уравнение можно записать так:
V2V2^= . (98)
где
„ 0? d2w
дх2 ду2
8. Представление дифференциального уравнения изогнутой поверхности пластинки четвертого порядка в виде двух дифференциальных уравнений второго порядка. При решении ряда задач целесообразно уравнение (97) записать в виде двух дифференциальных уравнений второго порядка. Запишем уравнение (97) в виде:
Vdx2 ду2)\дх2 ду2) D '
Полагая, что
Mx+Mv = M, (99)
1+ц
где M — приведенный момент, и подставляя в (99) вместо Mx и My их значения согласно (81) и (82), получаем:
M=—?>(— + —) . (100)
ду2) і
Используя это равенство, можно записать уравнение (97) в виде двух дифференциальных уравнений второго'порядка:
дт , д2М .. /1Л,Ч
d2w d2w _ M
дх2 ~ду2 ~ D
Следует заметить, что
(102)
и аналогично
дМ ду
=Qyz, ,(104)
т. е. первая производная от приведенного момента по х равна по? перечной силе Qxz и первая производная от приведенного момента по у — поперечной силе Qyz.
;56 . ,9. Граничные условия. В основу расчета пластинок была "поло« жена гипотеза прямых нормалей. Нормаль, проведенная к произвольной точке контура пластинки, под воздействием нагрузки может переместиться в этой точке по вертикали]^ (горизонтальные переме» щения точек срединной плоскости при действии поперечной нагрузки принимались равными нулю) и повернуться на некоторый угол в плоскости, перпендикулярной к контурной линии. Следовательно, положение нормали определяется двумя величинамиСо- ; ответственно этому для каждой точки контура должно быть задано два граничных условия. Они могут быть как геометрическими, так и статическими^ Рассмотрим в связи с этим определение опорной реакции при свободно опертом крае. Здесь будет действовать поперечная сила и крутящий момент, которые и должна воспринять опора. Однако опора может создавать только реакции, перпендикулярные к срединной плоскости. Для устранения этого противоречия, вызванного неточностью рассматриваемой теории, заменим крутящие моменты эквивалентными парами. Такая замена не повлияет на величину крутящих моментов и вызовет лишь местные перераспределения-напряжений по краю пластинки, не отражающиеся на распределении; напряжений по всей, остальной площади пластинки,