Расчет пластинок на прочность и устойчивость методом сеток - Чуватов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
IV^PAC4ET;n ЛАСТИ НО К
§ I. Основные определения
Пластинкой средней толщины или тонкой плитой называется тело призматической или цилиндрической формы с толщиной (рис. 44),
48 значительно меньшей размеров оснований. Принято считать, что плита будет тонкой, если отношение толщины h к меньшему размеру b основания находится в
00/ Ь I5
¦пределах: к.80 100,
Если — — -г- —) , плас-Ь \80 100/ тинка называется мембраной,
h . /1 1 \ -при — > —;— — толстой
¦ Ь \ 5 8/ плитой. В дальнейшем мы бу- РИС, 44.
дем рассматривать расчет
только тонких плит. Плоскость, делящая пополам толщину пластинки, называется срединной плоскостью. При деформации изгиба точки пластинки перемещаются. Перемещения точек срединной плоскости пластинки в направлении, перпендикулярном к ней, будем называть прогибами fay-пластинки. Поверхность, на которой оказываются лежащими точки срединной плоскости после деформации, называется срединной поверхностью.
Будем считать, что прогибы малы по сравнению с линейными размерами оснований пластинки, но сравнимы с ее толщиной
WW < 4-AV
§ 2. Расчет тонких „ пластинок на действие!, поперечной нагрузки
1. Основные гипотезы. Введем ряд гипотез, упрощающих практический расчет:
1. Срединная плоскость пластинки не деформируется в плоскости хоу, а только изгибается; нормальные напряжения в вертикальных сечениях на уровне срединной плоскости равны нулю.
2. Отдельные слои пластинки не оказывают давления друг на друга, во всех точках пластинки oz=0.
3. Вертикальные линии, проведенные перпендикулярно срединной плоскости пластйнки, при деформации только наклоняются, но не искривляются. Это предположение аналогично гипотезе Бернулли при расчете балок.
4. Точки срединной плоскости пластинки перемещаются іолько вертикально. Горизонтальные перемещения настолько малы (пци небольших деформациях), что ими можно пренебречь:
2. Перемещения пластинки. На рис. 45, а изображена часть пластинки. Рассмотрим точку А, отстоящую от срединной плоскости на расстоянии г. Плита деформируется под действием нагрузки, нормальной к срединной ее плоскости (рис. 45, б). Точка А пере-
4 Заказ № 318
49 местится и займет новое положение A1. Прямая, нормальная к срединной плоскости плиты, на которой лежала точка А, не
Рис. 45.
искривится в силу гипотезы три, а лишь повернемся на некоторый угол.
Прогиб произвольной точки срединной поверхности плиты обозначим до. Составляющую перемещения, точки А по оси х обозначим и. Из рисунка 45, б следует:
и=—2sin<p.
Ввиду малой величины угла ср можно считать, что
, dw sin<p«tgcp=
h— / г / Lux W Г" / Lyz
dx
—ЛГ^ ** (так как прогиб является функцией двух / у у переменных л; и у, то производная берется частной). Следовательно:
дх
W
dw
(75)
Рис. 46.
Аналогично определяем перемещение точки А в направлении оси у — V-(рис. 45, в)
V=-ZSin y=-Z- . (76)
ду к '
•щ
3. Напряжения. Если из пластинки вырезать элемент бесконечно малых размеров, то по граням его будут действовать напряжения:
Oy, тху, %хг, Xyz (рис. 46). По закону Гука
Lffx- її (оу+ oj];
50 V= у 1^,-^(?+?)].
"Так как Oz=Q, согласно гипотезе второй, то
1 К —fAo-y);
E 1
(о,-
Решая эти уравнения относительно ох и оу, получаем:
Ef1 ч
1-
(є,,+ (XEz).
Касательные напряжения Xxy будут:
E
"ху-
Gy
Xy-
2(1+1*)
¦-Ку-
прин имая во внимание, что du
Blr=-
дх
Рис. 47.
dv ds , du
--T- И Уху=-—I-— ду у дх ду
а также равенства (75) и (76), получаем:
Uv
Ez (d2w d^w 1 — їх2 і, дх'1 +|Xo[у2
^d2W + <Pw_\.
1 — (і2 \ду2 ' ' дх2 / ' ?z 0?
1 +їх дхду
(77)
(78)
(79)
4. Моменты. Рассмотрим элемент плиты с размерами dx, dy и высакой h (рис. 47). Нормальные усилия, распределенные по всей площадке боковой грани, дают момент относительно оси у.
Момент, создаваемый нормальными напряжениями ах, отнесенный к единице ширины dy — Mx, равен:
Mx= J axzdz.
4*
51 Подставляя в это выражение значения ах по формуле (77), получим:
%
Поэтому
Обозначим:
h
P 2
Mx=--— (д*ш д*ш\ Г z4z.
Wfcr+ Jh
2
Интеграл представляет собой момент инерции поперечного сечения балки полоски, имеющей высоту сечения h и ширину, равную единице, т. е.
h_
Л 12
2
.. Ehs (d*w , 32ai Mx =----h [А-
12.(1-(*2) \ дх* ду2
D=-^-. (80)
12 (1 — fx2)
Это, таїк называемая, цилиндрическая жесткость, отличающаяся от обычной EI знаменателем 1 — [х2. Пластинка всегда имеет большую жесткость, чем соответствующее количество расположенных рядом балок. D>EI. Таким образом:
Mx=-Dl^-+ ' (81)
[дX2 ^ ду* J
Аналогично найдем:
у [ду2 г дх*) '
Касательные напряжения тХу приведутся к крутящему моменту, действующему относительно осй X. Обозначим крутящий момент, создаваемый касательными напряжениями тХу, отнесенный к единице ширины, через Mxy.
h- ' А
T T .
Mxy=- f х z dz= —~---f Z2 dz= т '
¦а l+f* дхду Jh-
L2
Eh3 d*w
или -
12 (14-М-) дхду Mxy=-D( I-V) Sr- (83)
